Równanie macierzowe, wyznacznik macierzy 0

[r4czek]

Witajcie! Mam problem z pewnym równaniem macierzowym...
Mianowicie:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&-1\\3&5&0\end{array}\right] \cdot X = \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&-2\\3&-1\end{array}\right]}\)

Chciałem na początku zrobić następującym sposobem:
\(\displaystyle{ AX=B}\)
\(\displaystyle{ AX=B / \cdot A ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A ^{-1}B}\)

Ale jak się okazało wyznacznik macierzy wynosi 0 i nie można wyliczyć macierzy odwrotnej... W tym momencie moje życie legło w gruzach ^^ No ale jeszcze trafiłem na ten temat: https://www.matematyka.pl/268247.htm

I tam użytkownik thepunisher92pl podstawił w miejsce X'a macierz z niewiadomymi. Stwierdziłem że i ja spróbuję mimo że tego nigdy nie robiłem!

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&-1\\3&5&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&d\\b&e\\c&f\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&-2\\3&-1\end{array}\right]}\)

I wyszły mi (nie wiem czy poprawnie!) takie dwa układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b+c=1 \\ 2a+3b-c=2 \\ 3a+5b=3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} d+2e+f=1 \\ 2d+3e-f=-2 \\ 3d+5e=-1 \end{cases}}\)

Wsadziłem te równania w macierze rozszerzone i zacząłem rozwiązywać, ale od razu mi jakaś kiszka wyszła ;/
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\2&3&-1&|2\\3&5&0&|3\end{bmatrix} \xrightarrow{r _{2} -2r _{1}, r _{3}-3r _{1}} \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\0&-1&-3&|0\\0&-1&-3&|0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\2&3&-1&|-2\\3&5&0&|-1\end{bmatrix} \xrightarrow{r _{2} -2r _{1}, r _{3}-3r _{1}} \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\0&-1&-3&|-4\\0&-1&-3&|-4\end{bmatrix}}\)

Jak widać w obydwu przypadkach, już w pierwszym kroku tracę jedno równanie...

Proszę o pomoc!
Pozdrawiam =)

[miki999]

Zatem, o ile dobrze podstawiłeś, istnieje nieskończenie wiele takich macierzy. Zapewne należałoby znaleźć jaką ma ona postać.

[r4czek]

@Up
Hmmm... nie wiem czy dobrze zrozumiałem... Wygrzebałem coś takiego: No i według tego mogę przedstawić te macierze w innej postaci...
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\0&-1&-3&|0\\0&-1&-3&|0\end{bmatrix} \xrightarrow{r _{1}+2r _{2},r _{2} \cdot (-1) } \begin{bmatrix} 1&0&-5&|1\\0&1&3&|0\end{bmatrix}}\) W takim razie powstaje układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-5c=1 \\ b+3c=0 \\ c= \alpha \end{cases} = \begin{cases} a=1+5 \alpha \\ b=0-3 \alpha \\ c= 0+\alpha \end{cases}}\)

Który przekształcam do postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} + \alpha \cdot \begin{bmatrix} 5\\-3\\1\end{bmatrix}, \alpha \in R}\)

Adekwatnie robię z drugą macierzą i powstaje mi forma:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} d\\e\\f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7\\4\\0\end{bmatrix} + \alpha \cdot \begin{bmatrix} 5\\3\\1\end{bmatrix}, \alpha \in R}\)

I mogę to teraz połączyć? Czyli powstanie mi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-7\\0&4\\0&0\end{bmatrix} + \alpha \cdot \begin{bmatrix} 5&5\\-3&3\\1&1\end{bmatrix}, \alpha \in R}\)

Dobrze? Czy jak zwykle coś starabaniłem? xD

[miki999]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-5c=1 \\ b-5c=0 \\ c= \alpha \end{cases} = \begin{cases} a=1+5 \alpha \\ b=0+5 \alpha \\ c= 0+\alpha \end{cases}}\)

A skąd:
\(\displaystyle{ b-5c=0}\)?
Drugie i 3. równanie to ewidentnie:
\(\displaystyle{ b+3c=0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ b=-3c}\)

[r4czek]

Jejciu, literówka ^^ już poprawiam. Ale tak to to git?

Dobra, poprawiłem mojego poprzedniego posta =)

[miki999]

Wektor:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix}}\)
powinien być postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a\\-3c\\c\end{bmatrix}}\)
a u Ciebie nadal nie jest, ale nie wiem, czy wynika to z literówek, czy rzeczywiście coś Ci się źle policzyło.

[r4czek]

@miki999
Hmmm, a to jeżeli tak to czy wektor:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix}}\)
Nie powinien wyglądać tak?:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1+5c\\-3c\\c\end{bmatrix}}\)

A całość:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix}}\)
Nie powinna wyglądać tak?:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1+5c&-7+5f\\-3c&4-3f\\c&f\end{bmatrix}}\)


Dobra, jeszcze raz sprawdziłem wszystko, wychwyciłem błędy i wrzuciłem w jedną kupę =P może to jest po prostu inny sposób na rozwiązanie tego?
Bo robiłem na podstawie ostatniego przykładu z tej strony:


No ale od nowa... W miejsce X podstawiam macierz z niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&-1\\3&5&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&d\\b&e\\c&f\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&-2\\3&-1\end{array}\right]}\)

Przekształcam to do dwóch układów równań:
1) \(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b+c=1 \\ 2a+3b-c=2 \\ 3a+5b=3 \end{cases}}\)

2) \(\displaystyle{ \begin{cases} d+2e+f=1 \\ 2d+3e-f=-2 \\ 3d+5e=-1 \end{cases}}\)

Układy równań przedstawiam w formie macierzy, żeby je sobie rozwiązać:
1) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\2&3&-1&|2\\3&5&0&|3\end{bmatrix} \xrightarrow{r _{2} -2r _{1}, r _{3}-3r _{1}} \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\0&-1&-3&|0\\0&-1&-3&|0\end{bmatrix} \xrightarrow{r _{1}+2r _{2},r _{2} \cdot (-1) } \begin{bmatrix} 1&0&-5&|1\\0&1&3&|0\end{bmatrix}}\)

2)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\2&3&-1&|-2\\3&5&0&|-1\end{bmatrix} \xrightarrow{r _{2} -2r _{1}, r _{3}-3r _{1}} \begin{bmatrix} 1&2&1&|1\\0&-1&-3&|-4\\0&-1&-3&|-4\end{bmatrix} \xrightarrow{r _{1}+2r _{2},r _{2} \cdot (-1) } \begin{bmatrix} 1&0&-5&|-7\\0&1&3&|4\end{bmatrix}}\)

Znowu wbijam to do układu równań, tak jak to było pokazane tutaj:
1)\(\displaystyle{ \begin{cases} a-5c=1 \\ b+3c=0 \\ c= \alpha \end{cases} = \begin{cases} a=1+5 \alpha \\ b=0-3 \alpha \\ c= 0+\alpha \end{cases}}\)
2)\(\displaystyle{ \begin{cases} d-5f=-7 \\ e+3f=4 \\ f= \alpha \end{cases} = \begin{cases} d=-7+5 \alpha \\ e=4-3 \alpha \\ f= 0+\alpha \end{cases}}\)

Zapisuję w postaci zaproponowanej tutaj: http://adpie.w.interia.pl/normalna.htm
1)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} + \alpha \cdot \begin{bmatrix} 5\\-3\\1\end{bmatrix}, \alpha \in R}\)
2)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} d\\e\\f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7\\4\\0\end{bmatrix} + \alpha \cdot \begin{bmatrix} 5\\-3\\1\end{bmatrix}, \alpha \in R}\)

No i staram się połączyć (nie wiem czy tak można, tego już nigdzie nie znalazłem tylko myślę że chyba można...)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-7\\0&4\\0&0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \alpha &5 \beta \\-3 \alpha &-3 \beta \\1 \alpha &1 \beta \end{bmatrix}, \alpha, \beta \in R}\)
PS. Ojć wcześniej tego nie zauważyłem... Że chyba nie mogę zostawić jednego parametru zarówno dla pierwszej kolumny jak i dla drugiej kolumny macierzy...

Uff, amen! =D teraz sprawdziłem czy nie ma żadnych błędów rachunkowych, nic nie powinno być...

[miki999]

Nie powinien wyglądać tak?:

Tak, powinien.

Niby ok, ale nie uwzględniasz części rozw. Jeżeli w 2) zapiszemy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} d\\e\\f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7\\4\\0\end{bmatrix} + \beta \cdot \begin{bmatrix} 5\\-3\\1\end{bmatrix}, \quad \beta \in \mathbb{R}}\)
Wtedy ogólne rozwiązanie będzie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-7\\0&4\\0&0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5\alpha&5\beta\\-3\alpha&-3\beta\\ 1\alpha&1\beta\end{bmatrix},\quad \alpha , \beta \in \mathbb{R}}\).


Tak z grubsza przejrzałem i nie widzę błędów.


Pozdrawiam.

[r4czek]

Super dzięki! Sporo się na tym zadaniu rzeczy nauczyłem =D dzięki wielkie za pomoc i poświęcony czas, pozdrawiam!