Potęgowanie zbiorów

[drago77]

Witam. Chciałbym się zapytać, jak potęgować zbiory liczbowe. Przykładowo, mam zbiór liczb \(\displaystyle{ A = \{-1,1,-2\}}\) Ile wynosi \(\displaystyle{ A^{2}}\) ? Czy dobrze myślę, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) podniesiony do kwadratu będzie wynosił \(\displaystyle{ A = \{1,1,4\}}\) ?

[Ein]

Zależy jak sobie zdefiniujesz potęgowanie. W algebrze przyjmuje się zazwyczaj, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) ich iloczyn jest równy wszystkim możliwym iloczynom elementów: \(\displaystyle{ A\cdot B=\{a\cdot b:\ a\in A,b\in B\}}\). Stąd \(\displaystyle{ A^2=A\cdot A=\{a\cdot a':\ a,a'\in A\}}\).

[drago77]

Czyli nie mogę podnosić każdej liczby osobno, ale wypisać pary:\(\displaystyle{ (-1,-1), (-1,1), (-1,-2), (1,-1)}\), ... itd?

[Ein]

Możesz robić, co chcesz -- wszystko zależy od tego, do czego Ci te potęgi zbiorów są potrzebne.

Możesz położyć zarówno \(\displaystyle{ A^2:=\{a^2:\ a\in A\}}\), jak i \(\displaystyle{ A^2:=\{aa':\ a,a'\in A\}}\). Ja się spotkałem z tym drugim sposobem, bo jest on naturalny np. w teorii grup czy w teorii pierścieni. Ale jeżeli pierwszy sposób jest Ci do czegoś potrzebny, to nic nie stoi na przeszkodzie, żebyś go używał.

Ten drugi sposób bierze się z naturalnego sposobu mnożenia zbioru przez element: \(\displaystyle{ a\cdot B:=\{a\cdot b:\ b\in B\}}\). To jak teraz uzyskać iloczyn zbiorów mając tak zdefiniowany iloczyn elementu i zbioru? Np. jako sumę zbiorów \(\displaystyle{ aB}\) po wszystkich \(\displaystyle{ a\in A}\), tj. \(\displaystyle{ AB=\bigcup_{a\in A}aB}\). Ale to się równa dokładnie temu, co napisałem w pierwszym poście, czyli \(\displaystyle{ AB=\{ab:\ a\in A,b\in B\}}\).

Zauważ jeszcze, że elementy \(\displaystyle{ A\cdot B=\{a\cdot b:\ a\in A,b\in B\}}\) to nie są w zasadzie pary!

Generalnie, żeby to wszystko formalnie pozapisywać, to trzeba by się pobawić w określenie tzw. algebry -- struktury mającej nośnik i działanie... Zostawmy to

[norwimaj]

Gdy widzę napis \(\displaystyle{ A^2}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem, to pierwszym moim skojarzeniem jest \(\displaystyle{ A\times A}\). W szczególności \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) oznacza płaszczyznę. Ale być może gdzieniegdzie \(\displaystyle{ A^2}\) oznacza \(\displaystyle{ A\cdot A}\). Wszystko zależy od kontekstu.