1. Pokaż, że macierz \(\displaystyle{ A=\left[ a_{i,j}\right] \in TRIU^{n,n}}\) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_{i,i} \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\).
2. Macierz \(\displaystyle{ A=\left[ a_{i,j}\right] \in \mathbb{R}^{n,n}}\), gdzie:
\(\displaystyle{ a_{i,j}= \begin{cases} 1 \ \hbox{gdy} \ i \ge j \\ 0 \ \hbox{gdy} \ i < j \end{cases}}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ A^{-1}}\).
ogólnie to mam problem z macierzami nieosobliwymi i ich odwracaniem.. za dużo narzędzi to nie mam, tylko operacje elementarne(wyznaczników nie było).. jakieś wskazówki jak podchodzić, nie mając za wiele, do takich zadań? szczególnie takich ogólnych jak pierwsze..
-- 27 paź 2011, o 23:25 --
aha.. no i umiem szybko odwracać macierze 2x2 oprócz operacji elementarnych, bo to łatwe.. ale nie wiem czy mi się to przyda na dłuższą metę.. mogę podzielić macierz na bloki 2x2 i każdy z nich odwaracać.. problem w tym że nie zawsze da się wcelować z takim podziałem bo czasem zostają pojedyncze bloki 1x1 na przykład.. albo zostają bloki z samymi zerami.. nie wiem wtedy czy mam to zostawić, czy to znaczy że nie da się odwrócić..
-- 27 paź 2011, o 23:57 --
trochę się nie popisałem, bo pytałem zbyt ogólnikowo.. wiem, że jak mamy:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}}\)
to \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d&-b \\ -c&a \end{bmatrix}}\)
czy na podstawie tego mogę obliczyć odwrotną do tej macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&0&0&0 \\ 2&5&0&0&0\\0&0&i&0&0\\0&0&0&4&-1\\0&0&0&-1&0 \end{bmatrix}}\)
?
podzieliłbym na bloki i odwracał blokami.. bloki 2x2 ze wzoru który podałem, a jednostka urojona osobno jak skalar.. można tak? tyle że co wtedy z blokami zerowymi? nie odwracają się, ale to nie znaczy, że cała macierz się nie odwraca?
-- 28 paź 2011, o 00:01 --
z kolei ta macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&1&1 \\ -1&0&1&1\\ -1&-1&0&1\\ -1&-1&-1&0 \end{bmatrix}}\)
ma odwrotność mimo że blokami 2x2 nie ma jak bo jeden się nie odwróci.. ktoś wytłumaczy jak to jest?
wybaczcie, trochę mi się rozwlekł temat i bez koncepcji.. chyba już za długo nad tym siedzę..-- 28 paź 2011, o 01:56 --uff.. zadania właśnie zrobiłem ale pytanie o odwracalność macierzy jak najbardziej aktualne, chciałbym poznać jak najwięcej sposobów..
Nieosobliwość macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Nieosobliwość macierzy
Macierzy dopełnień algebraicznych niestety nie..
Co do operacji elementarnych to owszem.. jednak strasznie do mnie nie przemawia ta metoda.. nigdy nie wiem czym się kierować.. ogólnie chodzi o to, aby tymi operacjami doprowadzić naszą macierz do identycznościowej, a wtedy identycznościowa potraktowana tymi samimy operacjami staje się naszą szukaną, prawda? tyle, że nigdy nie wiem czym się kierować i zazwyczaj zajmuje mi to duzo czasu i dużo operacji.. np tą macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&1&1 \\ -1&0&1&1\\ -1&-1&0&1\\ -1&-1&-1&0 \end{bmatrix}}\)
męczyłem chyba z pół godziny.... ta metoda to taki algorytm zachłanny.. poza tym z lenistwa chciałbym znaleźć odwrotną macierz jak najszybciej -- 28 paź 2011, o 17:33 --ale dzięki, poczytam o tej dopełnień algebraicznych..
Co do operacji elementarnych to owszem.. jednak strasznie do mnie nie przemawia ta metoda.. nigdy nie wiem czym się kierować.. ogólnie chodzi o to, aby tymi operacjami doprowadzić naszą macierz do identycznościowej, a wtedy identycznościowa potraktowana tymi samimy operacjami staje się naszą szukaną, prawda? tyle, że nigdy nie wiem czym się kierować i zazwyczaj zajmuje mi to duzo czasu i dużo operacji.. np tą macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&1&1 \\ -1&0&1&1\\ -1&-1&0&1\\ -1&-1&-1&0 \end{bmatrix}}\)
męczyłem chyba z pół godziny.... ta metoda to taki algorytm zachłanny.. poza tym z lenistwa chciałbym znaleźć odwrotną macierz jak najszybciej -- 28 paź 2011, o 17:33 --ale dzięki, poczytam o tej dopełnień algebraicznych..
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Nieosobliwość macierzy
Wystarczy zauważyć jeszcze dwie rzeczy:adambak pisze:jak mamy:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}}\)
to \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d&-b \\ -c&a \end{bmatrix}}\)
czy na podstawie tego mogę obliczyć odwrotną do tej macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&0&0&0 \\ 2&5&0&0&0\\0&0&i&0&0\\0&0&0&4&-1\\0&0&0&-1&0 \end{bmatrix}}\)
?
1. Macierze diagonalne mnoży się łatwo, na przykład
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}5&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}5&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{bmatrix}}\).
2. Macierze w postaci blokowej mnoży się tak jak macierze (pod warunkiem że rozmiary podmacierzy się zgadzają)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{r|r} A_1 & B_1 \\\hline C_1 & D_1\end{array} \right]\cdot
\left[\begin{array}{r|r} A_2 & B_2 \\\hline C_2 & D_2\end{array} \right]=
\left[\begin{array}{r|r} A_1A_2+B_1C_2 & A_1B_2+B_1D_2 \\\hline
C_1A_2+D_1C_2 & C_1B_2+D_1D_2\end{array} \right]}\)
I teraz pytanie, przez co trzeba pomnożyć macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{r|r|r}A&0&0\\\hline 0&B&0\\\hline 0&0&C\end{array}\right]}\),
żeby otrzymać
\(\displaystyle{ I_5=\left[\begin{array}{r|r|r}I_2&0&0\\\hline 0&I_1&0\\\hline 0&0&I_2\end{array}\right]}\).