Wykazać, że jeżeli operator jest symetryczny, to wektory własne odpowiadające różnym
wartościom własnym są do siebie ortogonalne (prostopadłe).
Symetryczność operatora, a wektory własne
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Symetryczność operatora, a wektory własne
Co to znaczy, że operator jest symetryczny? I co to jest wektor własny? Napisz definicje a reszta praktycznie sama wyjdzie
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Symetryczność operatora, a wektory własne
Założenia: \(\displaystyle{ Ax _{1}= \alpha _{1}x _{1}; Ax _{2}= \alpha _{2}x _{2};A=A^T; \alpha _{1} \neq \alpha _{2}}\)
do pokazania \(\displaystyle{ x _{1} \cdot x_{2}=0}\)
\(\displaystyle{ Ax _{1}= \alpha _{1}x _{1}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}A^T= \alpha _{1}x _{1} ^{T}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}A^Tx _{2} = \alpha _{1}x _{1} ^{T}x _{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}Ax _{2} =x _{1} ^{T} \alpha _{1}x _{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T} \alpha _{2} x _{2} =x _{1} ^{T} \alpha _{1}x _{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}x _{2}( \alpha _{2}- \alpha _{1} )=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}x _{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} =0}\)
do pokazania \(\displaystyle{ x _{1} \cdot x_{2}=0}\)
\(\displaystyle{ Ax _{1}= \alpha _{1}x _{1}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}A^T= \alpha _{1}x _{1} ^{T}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}A^Tx _{2} = \alpha _{1}x _{1} ^{T}x _{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}Ax _{2} =x _{1} ^{T} \alpha _{1}x _{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T} \alpha _{2} x _{2} =x _{1} ^{T} \alpha _{1}x _{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}x _{2}( \alpha _{2}- \alpha _{1} )=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{T}x _{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} =0}\)