Podaj kontrprzykłady - jądro, obraz

[Ciamolek]

Witam,

Należy obalić następujące stwierdzenia, poprzez podanie konkretnego przykładu:

(a)
\(\displaystyle{ Im( \alpha + \beta ) \le Im( \alpha )+Im (\beta )}\)
(b)
\(\displaystyle{ ker(\alpha+ \beta) \ge ker( \alpha) \cap ker( \beta)}\)

gdzie \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) są przekształceniami liniowymi.

Proszę o pomoc,

Ciamolek

[tometomek91]

Co oznacza ta suma?
\(\displaystyle{ Im( \alpha )+Im (\beta )}\)

[Ciamolek]

Myślę, że jest to suma obrazów dwóch różnych przekształceń.

(Nie bardzo rozumiem: czy taka suma może znaczyć coś jeszcze, czy może w swym pytaniu zawarłeś podpowiedź?)

Pozdrawiam,
Ciamolek

[tometomek91]

Nie, po prostu pytam, bo obrazy to zbiory, wiec chyba powinno być \(\displaystyle{ \cup}\).

[Ciamolek]

Mój błąd. Moja interpretacja 'sumy' była błędna, a Twoja wątpliwość jak najbardziej uzasadniona. Okazuje się, że ta 'niby-suma' pozwala na dowolne kombinacje liniowe elementów z tychże dwóch przestrzeni.

Co wcale nie przybliża mnie do rozwiązania tegoż problemu...

[Ein]

Jeżeli chodzi o sumę zdefiniowaną jako \(\displaystyle{ U+V:=\{u+v:\ u\in U, v\in V\}}\), to te nierówności są prawdziwe, zgodnie z definicją sumy operatorów: \(\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v}\) -- pierwszy składnik sumy należy do \(\displaystyle{ \mbox{im}\alpha}\), drugi do \(\displaystyle{ \mbox{im}\beta}\), więc \(\displaystyle{ (\alpha+\beta)v\in\mbox{im}\alpha+\mbox{im}\beta}\), skąd dostajemy, że \(\displaystyle{ \mbox{im}(\alpha+\beta)\le\mbox{im}\alpha+\mbox{im}\beta}\). Analogicznie z \(\displaystyle{ \mbox{ker}}\).