Witam serdecznie.
W ramach pracy domowej dostaliśmy do zrobienia 5 dowodów z algebry. 2 udało mi się zrobić. Pozostały 3 do zrobienia.
Ich treść:
1. Wykazać, że rozkład wektorów w bazie jest jednoznaczny.
2. Wykazać, że normy \(\displaystyle{ \|x\|_1}\) i \(\displaystyle{ \|x\|_{\text{max}}}\) są równoważne w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)
3. Wykazać, że norma generowana przez iloczyn skalarny spełnia warunki definicyjne normy.
Wykładowca twierdzi, że dowody zajmują kilka linijek. Ja jednak nie mam pomysłu jak to ugryźć.
Serdecznie proszę Was o pomoc.
Pozdrawiam.
Dowody rozkład wektorów, równoważność norm
-
donkichot92
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 26 paź 2011, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Dowody rozkład wektorów, równoważność norm
Ostatnio zmieniony 26 paź 2011, o 20:39 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
szw1710
Dowody rozkład wektorów, równoważność norm
Tak jest dokładnie. Najdłuższe jest zadanie 2. Tu trzeba umieć szacować. Idea jest taka: w kuli w metryce taksówkowej (kwadrat "kopnięty") znajduje się kwadrat "zwykły" (kula w metryce maksimum), a w nim kolejny, mniejszy, "kopnięty". Więc obie rodziny kwadratów generują identyczną topologię.
1. Gdyby nie był to rozkład jednoznaczny, to wektory nie byłyby liniowo niezależne. Skorzystaj z definicji liniowej niezależności.
3. Trywialne - z własności iloczynu skalarnego. Weź iloczyn skalarny na płaszczyźnie i policz (warunek trójkąta), a potem uogólnij ta na przestrzeń \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową. Tu w warunku trójkąta ingeruje nierówność Minkowskiego. W ogólnej przestrzeni unitarnej też warunek trójkąta da się sprawdzić.
Zakładam, że przestrzeń jest rzeczywista. W zespolonej jest nieco trudniej, bo nie ma własności symetrii iloczynu skalarnego. Ona jest tylko w przestrzeni rzeczywistej.
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=\|x\|^2+\|y\|^2+2\langle x,y\rangle}\)
Pokombinuj dalej - ja tylko zacząłem. Wykorzystaj tu nierówność Schwarza, a dostaniesz, co trzeba. Oszacuj ten iloczyn skalarny. To naprawdę łatwe.
Pozostałe warunki normy sprawdzamy naprawdę trywialnie.
1. Gdyby nie był to rozkład jednoznaczny, to wektory nie byłyby liniowo niezależne. Skorzystaj z definicji liniowej niezależności.
3. Trywialne - z własności iloczynu skalarnego. Weź iloczyn skalarny na płaszczyźnie i policz (warunek trójkąta), a potem uogólnij ta na przestrzeń \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową. Tu w warunku trójkąta ingeruje nierówność Minkowskiego. W ogólnej przestrzeni unitarnej też warunek trójkąta da się sprawdzić.
Zakładam, że przestrzeń jest rzeczywista. W zespolonej jest nieco trudniej, bo nie ma własności symetrii iloczynu skalarnego. Ona jest tylko w przestrzeni rzeczywistej.
\(\displaystyle{ \|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=\|x\|^2+\|y\|^2+2\langle x,y\rangle}\)
Pokombinuj dalej - ja tylko zacząłem. Wykorzystaj tu nierówność Schwarza, a dostaniesz, co trzeba. Oszacuj ten iloczyn skalarny. To naprawdę łatwe.
Pozostałe warunki normy sprawdzamy naprawdę trywialnie.
-
donkichot92
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 26 paź 2011, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Dowody rozkład wektorów, równoważność norm
Popróbowałem, ale się nie udało. Zależy mi na czasie. Matematyka mnie nie pasjonuje, dlatego mam pytanie. Czy ktoś podjął by się zrobienia tych zadań odpłatnie? Proszę o kontakt na PW.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.