Uzasadnij równość(ślad macierzy)

[adambak]

Śladem macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A=\left[ a_{i,j} \right] \in \mathbb{K}^{n,n}}\), nazywamy sumę jej elementów na głównej przekątnej, tzn.:

\(\displaystyle{ trace(A)= \sum_{j=1}^{n}a_{j,j}}\)

Udowodnij, że dla dowolnych macierzy \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb{K}^{m,n}}\) macierze \(\displaystyle{ AB^T}\) i \(\displaystyle{ A^TB}\) są kwadratowe oraz:

\(\displaystyle{ trace(AB^T)=trace(A^TB)}\)

oczywiście z tym, że są kwadratowe nie ma problemu.. nie wiem jednak jak podejść do tej równości.. chyba trzeba coś sprytnego zauważyć..

[Qń]

Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ C=AB^T}\) oraz \(\displaystyle{ D=A^TB}\), to mamy:
\(\displaystyle{ c_{kk}= \sum_{i=1}^{n}a_{ki}b_{ik}\\
d_{kk}=\sum_{i=1}^{n}a_{ik}b_{ki}}\)
czyli
\(\displaystyle{ trC = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ki}b_{ik} \\
tr D =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ik}b_{ki}}\)
i tu już łatwo zauważyć, że obie sumy to dokładnie to samo.

Q.

[adambak]

kurcze.. właśnie tak zaczynałem robić, ale gubiłem się w indeksach.. dziękuję