Zbadaj, dla jakich \(\displaystyle{ k \in R}\) macierz A jest odwracalna (nieosobliwa).
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}k+1&17&8-k^2&0&0\\0&k^2-4&4k&0&0\\0&0&k-3&0&0\\0&0&0&3k&3\\0&0&0&3&k+2\end{array}\right]}\)
Korzystam z Laplace'a
\(\displaystyle{ det = (k+1)(-1)^2 \left[\begin{array}{cccc}k^2-4&4k&0&0\\0&k-3&0&0\\0&0&3k&3\\0&0&3&k+2\end{array}\right] = (k+1)(k^2-4)(-1)^2\left[\begin{array}{ccc}k-3&0&0\\0&3k&3\\0&3&k+2\end{array}\right] = (k+1)(k^2-4)(k-3)(-1)^2 \left[\begin{array}{cc}3k&3\\3&k+2\end{array}\right] = (k+1)(k^2-4)(k-3)[3k(k+2) - 9] = (k+1)(k^2-4)(k-3)[3k^2+6k - 9] = 3(k+1)(k-2)(k+2)(k-3)(k^2+2k - 3) = 3(k+1)(k-2)(k+2)(k-3)(k-1)(k+3)}\)
Macierz jest nieosobliwa gdy \(\displaystyle{ det \neq 0}\). Tak więc:
\(\displaystyle{ 3(k+1)(k-2)(k+2)(k-3)(k-1)(k+3)\neq 0}\)
Otrzymujemy, że macierz jest nieosobliwa gdy:
\(\displaystyle{ k \neq -1 \wedge k \neq 1 \wedge k \neq 2 \wedge k \neq -2 \wedge k \neq 3 \wedge k \neq -3}\)
Czy jest to poprawnie zrobione zadanie? Czy prawidłowo użyłem laplace'a?