Dla jakiego k macierz jest nieosobliwa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
bemekw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 5 razy

Dla jakiego k macierz jest nieosobliwa

Post autor: bemekw »

Zbadaj, dla jakich \(\displaystyle{ k \in R}\) macierz A jest odwracalna (nieosobliwa).
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccccc}k+1&17&8-k^2&0&0\\0&k^2-4&4k&0&0\\0&0&k-3&0&0\\0&0&0&3k&3\\0&0&0&3&k+2\end{array}\right]}\)

Korzystam z Laplace'a

\(\displaystyle{ det = (k+1)(-1)^2 \left[\begin{array}{cccc}k^2-4&4k&0&0\\0&k-3&0&0\\0&0&3k&3\\0&0&3&k+2\end{array}\right] = (k+1)(k^2-4)(-1)^2\left[\begin{array}{ccc}k-3&0&0\\0&3k&3\\0&3&k+2\end{array}\right] = (k+1)(k^2-4)(k-3)(-1)^2 \left[\begin{array}{cc}3k&3\\3&k+2\end{array}\right] = (k+1)(k^2-4)(k-3)[3k(k+2) - 9] = (k+1)(k^2-4)(k-3)[3k^2+6k - 9] = 3(k+1)(k-2)(k+2)(k-3)(k^2+2k - 3) = 3(k+1)(k-2)(k+2)(k-3)(k-1)(k+3)}\)

Macierz jest nieosobliwa gdy \(\displaystyle{ det \neq 0}\). Tak więc:
\(\displaystyle{ 3(k+1)(k-2)(k+2)(k-3)(k-1)(k+3)\neq 0}\)

Otrzymujemy, że macierz jest nieosobliwa gdy:
\(\displaystyle{ k \neq -1 \wedge k \neq 1 \wedge k \neq 2 \wedge k \neq -2 \wedge k \neq 3 \wedge k \neq -3}\)

Czy jest to poprawnie zrobione zadanie? Czy prawidłowo użyłem laplace'a?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Dla jakiego k macierz jest nieosobliwa

Post autor: »

Wszystko jest ok.

Q.
bemekw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 5 razy

Dla jakiego k macierz jest nieosobliwa

Post autor: bemekw »

Dziękuje Panu bardzo - radość jest, zwłaszcza że sam "doszedłem" o co chodzi w Laplace'u.
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Dla jakiego k macierz jest nieosobliwa

Post autor: adambak »

a ma ktoś pomysł jak to zrobić bez Laplace'a? bo słyszałem, że się da..
ODPOWIEDZ