Czy istnieje macierz o własności

[adambak]

Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ T\in \mathbb{R}^{2}}\) taka, że odwzorowanie:
\(\displaystyle{ \vec{x} \mapsto T\vec{x}}\)
jest przesunięciem o zadany wektor \(\displaystyle{ \vec{v} \in \mathbb{R}^2}\)?

domyślam się, że nie(a przynajmniej sobie tego nie wyobrażam).. nie mam pojęcia jak uzasadnić..

[sdamian]

przekształcenie
\(\displaystyle{ \vec{x} \rightarrow T \vec{x}}\) jest liniowe,

a - czy translacja Punktu P(x,y) (rozumiana tutaj jako przekształcenie wektora o początku w punkcjie (0,0) i końcu w punkcie (x,y) ) o z góry zadany wektor \(\displaystyle{ v=(v_1 ,v_2)}\) jest przekształceniem liniowym?

[Qń]

Można się też nie odwoływać do pojęcia liniowości i zauważyć, że wektor zerowy jest punktem stałym takiego odwzorowania, a przesunięcie o niezerowy wektor nie ma punktów stałych.

Q.

[adambak]

rozumiem, że wziąłem póki co za trudne zadanko, bo nie pojawiły się na wykładach te pojęcia, których użyliście.. ale dzięki bo doczytałem..

[Qń]

Które pojęcie w moim poście nie jest jasne? Punkt stały odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) to taki punkt \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ f(x)=x}\).

Q.

[adambak]

nie wiem o co chodzi z tymi przekształceniami liniowymi.. ale nie ważne, pociągnijmy punkty stałe odwzorowania.. ciut mi brakuje do zrozumienia - skąd wiemy, że skoro takie odwzorowanie ma jeden punkt stały (przesunięcie o wektor zerowy) a nie ma innych to taka macierz nie istnieje?

[Qń]

Nie tak.

Wartość przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) na wektorze (punkcie) \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}}\) to:
\(\displaystyle{ T\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}}\)
Oznacza to, że ten wektor (punkt) jest wektorem (punktem) stałym przekształcenia \(\displaystyle{ T}\).

Natomiast w przesunięciu na przykład o wektor \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix}}\), punkt \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}}\) powinien przejść na \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix}}\). Inaczej mówiąc, jeśli przesuwamy płaszczyznę o jakiś nietrywialny wektor, to żaden punkt nie przejdzie na siebie. A w przekształceniu zadanym macierzą \(\displaystyle{ T}\) jest co najmniej jeden taki punkt.

Q.

[adambak]

teraz jasne, dziękuję!