Algebra liniowa z geometrią

[89hunter92]

Dla wektorów \(\displaystyle{ v,w \in R^{2}}\) sprawdzić równość \(\displaystyle{ \left| v+w\right| ^{2} + \left| v-w\right| ^{2}= 2 \left| v\right| ^{2}+2 \left| w\right| ^{2}}\)

*\(\displaystyle{ R}\)-zbiór liczb rzeczywistych

[miki999]

No i w którym miejscu pojawia się problem?

[89hunter92]

Nie mam pojęcia jak to zacząć.

[adambak]

możesz każdy z wektorów przedstawić jako liczbę zespoloną: \(\displaystyle{ w=a+bi, \ v=c+di}\), podstawić do tej równości(wystarczy tylko na lewej stronie i doprowadzić do prawej), poupraszczać i na koniec zdjąc moduły tak jak to robimy w liczbach zespolonych.. wyjdzie L=P.. warto też to narysować i zobaczyć intepretację geometryczną..bo jest to dośc znane prawo..

[89hunter92]

a mógłbyś mi trochę początek zacząć ?

[adambak]

\(\displaystyle{ L=\left| v+w\right| ^{2} + \left| v-w\right| ^{2} = |a+bi+c+di|^2+|a+bi-c-di|^2= \\ \left| (a+c)+i(b+d)\right| ^2 +\left| (a-c) +i(b-d) \right|^2=...}\)

teraz pod modułami masz po jednej liczbie zespolonej.. wyodrębniłem Ci nawet co jest częścią rzeczywistą, a co urojoną.. zdejmujesz moduły tak jak to robimy w zespolonych i wystarczy posprzątać, żeby zobaczyć, że to jest prawa strona..

żeby to narysować to traktujemy każdą z liczb zespolonych \(\displaystyle{ w,v}\) jako wektor na płaszczyźnie Gaussa.. dodawanie i odejmowanie wektorów przypominamy sobie z gimnazjum i wychodzi że ta równośc to nic innego jak Reguła równoległoboku..

[miki999]

A czemu zespolone, jak mamy \(\displaystyle{ R^2}\)?
Niby można to utożsamiać z nimi, ale to podejście chyba nie jest tym, o które chodziło.

[adambak]

wiem, ale tak było ciekawiej