Wyznacz macierz przekształcenia

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 23 paź 2011, o 20:15

\(\displaystyle{ \hbox{Niech } K \hbox{ będzie dowolnym ciałem i niech }\varphi\colon K^2\to K^2 \hbox{ będzie przekształceniem określone wzorem:} \\
\varphi\left(\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c} 2x_1 \\ x_2+3x_1 \end{array}\right] \quad \hbox{dla dowolnych }x_1,x_2\in K.}\)

\(\displaystyle{ \hbox{Wyznacz macierz przekształcenia } \varphi \hbox{ w bazie } \varepsilon_1 + 3\varepsilon_2,\varepsilon_2.}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 paź 2011, o 20:27

Jaką rolę grają kolumny macierzy przekształcenia liniowego? Jakie wektory zawierają?

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 23 paź 2011, o 20:32

Hymm, nie wiem

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 paź 2011, o 20:37

No więc sprawdź to najpierw w bazie kanonicznej: kolejne kolumny macierzy przekształcenia zawierają obrazy wektorów bazowych w tym przekształceniu.

Potem przejdź do bazy, którą masz zadaną.

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 23 paź 2011, o 20:49

Tylko, że ja nie pamiętam jak się to liczyło

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 paź 2011, o 21:05

Co do braków w podstawach niech pomogą młodsi Koledzy. Odmeldowuję się.

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 23 paź 2011, o 22:11

\(\displaystyle{ \varphi\left( \varepsilon_1\right) =\varphi\left(\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right] = 2\left( \varepsilon_1+3\varepsilon_2\right) +3\varepsilon_2\\
\varphi\left( \varepsilon_2\right) =\varphi\left(\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] = 0\left( \varepsilon_1+3\varepsilon_2\right) +1\varepsilon_2}\)

\(\displaystyle{ \hbox{Macierzą przekształcenia } \varphi \hbox{ w bazie } \varepsilon_1 + 3\varepsilon_2,\varepsilon_2 \hbox{ jest }\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}\right).}\)

Na uczelni zrobiliśmy to tak. Tylko nie wiem dlaczego tak jest zapisane te przekształcenie.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 paź 2011, o 22:25

Szóstka zamiast dziewiątki.

Zauważ, że wektorami bazowymi są \(\displaystyle{ (1,3)}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\).

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 23 paź 2011, o 22:30

Dlaczego 6?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 paź 2011, o 22:35

Zaraz zobaczysz, poczekaj chwilę, aż napiszę.

Otóż, wobec postaci wektorów bazowych, mamy

\(\displaystyle{ \varphi(\alpha(1,3)+\beta(0,1))=\varphi(\alpha,3\alpha+\beta)=(2\alpha,3\alpha+\beta+3\alpha)=\\[1ex]=(2\alpha,6\alpha+\beta)=\begin{pmatrix}2&0\\6&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}}\)

Zatem macierz naszego odwzorowania w zadanej bazie to

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}2&0\\6&1\end{pmatrix}}\)

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 23 paź 2011, o 23:26

szw1710 pisze: \(\displaystyle{ \varphi(\alpha,3\alpha+\beta)=(2\alpha,3\alpha+\beta+3\alpha)}\)

Tej równości nie rozumiem.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 paź 2011, o 23:29

Ze wzoru na nasze przekształcenie. Spróbuj to przetrawić, weź sobie kartkę i spokojnie rozpisz. Dobranoc.

Pancernik · Post autor: **Pancernik** » 24 paź 2011, o 01:29

Wielkie Dzięki