Wykazać, jeżeli & jest monomorfizmem ciała liczbowego

[przemek186]

Wykazać, jeżeli \(\displaystyle{ \zeta}\) jest monomorfizmem ciała liczbowego \(\displaystyle{ (K,+, \cdot )}\) w ciało \(\displaystyle{ (Q,+, \cdot )}\), to dla każdego \(\displaystyle{ p \in Q, \quad \zeta(p)=p}\)

[Ein]

Albo nam o czymś nie powiedziałeś, albo tu jest coś grubo nie tak.

Jaki jest związek \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ Q}\)? Pytam, ponieważ napisałeś \(\displaystyle{ \zeta(p)=p}\), gdzie \(\displaystyle{ p\in Q}\), podczas gdy \(\displaystyle{ \zeta:K\to Q}\).

[przemek186]

zadanie 3. Jednak teraz już nie spieszy mi się z tym.

[Ein]

Ale po co mi to wklejasz? Nie widzisz błędu w zadaniu albo nieścisłości?

[marcinz]

Ein, nigdy nie spotkałem się z definicją ciała liczbowego, ale wg wikipedii jest . Związek jest więc chyba wystarczający.

[Ein]

Ahaaa... To to \(\displaystyle{ Q}\) to jest \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) -- ciało liczb wymiernych! No to teraz problem jest jasny.

Zauważmy, że z \(\displaystyle{ \zeta(1)=1}\), bo \(\displaystyle{ \zeta}\) jest homomorfizmem ciał. No ale skoro \(\displaystyle{ \zeta(1)=1}\), to z addytywności \(\displaystyle{ \zeta(n)=\zeta(1+\ldots+1)=\zeta(1)+\ldots+\zeta(1)=1+\ldots+1=n}\), gdzie przez wielokropek rozumiem \(\displaystyle{ n}\) razy. Podobnie zachodzi \(\displaystyle{ \zeta(-1)=-1}\) (bo \(\displaystyle{ \zeta}\) jest homomorfizmem), a więc dla \(\displaystyle{ n}\) dodatniego mamy \(\displaystyle{ \zeta(-n)=\zeta((-1)\cdot n)=\zeta(-1)\zeta(n)=-n}\). Podsumowując: \(\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{Z}:\ \zeta(a)=a}\). Autorowi wątku zostawiam problem dzielenia, by otrzymać tezę zadania.


I jeden komentarz do autora wątku: przepraszam jeśli mój poprzedni post wydał Ci się zbyt szorstki.