Uzasadnić, że podana macierz jest osobliwa

[pawellogrd]

Mam uzasadnić korzystając z własności wyznaczników, że podana macierz jest osobliwa:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&5&2&-2\\7&5&2&-5\\5&7&4&-4\\3&3&0&-3\end{bmatrix}}\)

Próbowałem dodawać wiersze, kolumny i odejmować - różne kombinacje ale nic mi ciekawego z tego niestety nie wyszło. Może miałby ktoś jakiś pomysł na to zadanie?

Z góry dzięki

PS. Próbowałem zastosować rozwinięcie Laplace'a ale do tego miejsca jest ok: \(\displaystyle{ 3 \cdot det \begin{bmatrix}0&0&6\\5&7&4\\3&3&0\end{bmatrix} + 3 \cdot det \begin{bmatrix}1&5&2\\6&0&0\\3&3&0\end{bmatrix} = 3 \cdot 6 \cdot det \begin{bmatrix}5&7\\3&3\end{bmatrix} + 3 \cdot 6 \cdot det \begin{bmatrix}5&2\\3&0\end{bmatrix}}\)

Wiem, że pierwszą macierz dobrze zamieniam, natomiast przy drugiej powinien być minus, mi jednak wychodzi plus i nie wiem co robię źle w tej zamianie. Za pomocą kalkulatora natomiast sprawdziłem, że jeśli dam tam minus to będzie ok...i dalej może coś wykombinuje się, żeby te wyznaczniki wyszły równe 0 (nie próbowałem jeszcze)

[chlorofil]

Wystarczy wykonać na podanej przez Ciebie macierzy następujące operacje:

\(\displaystyle{ w_3 - 2w_1\\w_1-w_2}\)

dzięki czemu w kolumnie nr 3 dostaniesz trzy zera i dwójkę:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&5&2&-2\\7&5&2&-5\\5&7&4&-4\\3&3&0&-3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6&0&0&3\\7&5&2&-5\\3&-3&0&0\\3&3&0&-3\end{bmatrix}}\)

Następnie rozwinąć względem trzeciej kolumny, czyli tak naprawdę względem elementu \(\displaystyle{ \left[ 3; 2\right]}\) i powstały wyznacznik 3 stopnia policzyć albo na piechotę (reguła Sarrusa), albo też rozwinąć.

[pawellogrd]

Dzięki wielkie!