witam,
mam do wyprowadzenia Laplasjan w układzie wsp.sferycznych
prawie wszystko mam tutaj,
tylko pojawia sie problem: jak ten tensor metryczny został wyliczony???
prosze o pomoc,
z góry dziękuję:)
tensor metryczny
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
tensor metryczny
Wsp. sferyczne \(\displaystyle{ (x^1 = r, x^2 = \vartheta, x^3 = \varphi)}\):
\(\displaystyle{ y_1 = x^1 \sin x^2 \cos x^3\\
y_2 = x^1 \sin x^2 \sin x^3 \\
y_3 = x^1 \cos x^2}\)
Budujemy macierz pochodnych (i-kolumna, j-wiersz):
\(\displaystyle{ \left( \frac{\partial y_i}{\partial x^j} \right) = \begin{pmatrix} \sin x^2 \cos x^3 & x^1 \cos x^2 \cos x^3 & - x^1 \sin x^2 \sin x^3 \\ \sin x^2 \sin x^3 & x^1 \cos x^2 \sin x^3 & x^1 \sin x^2 \cos x^3 \\ \cos x^2 & -x^1 \sin x^2 & 0 \end{pmatrix}}\)
Tensor metryczny ma postać:
\(\displaystyle{ g_{ij} =\left( \frac{\partial y_k}{\partial x^i}\frac{\partial y_k}{\partial x^j}\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left( x^1 \right)^2 & 0 \\ 0 & 0 & \left( x^1\sin x^2\right) ^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2 \vartheta \end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ y_1 = x^1 \sin x^2 \cos x^3\\
y_2 = x^1 \sin x^2 \sin x^3 \\
y_3 = x^1 \cos x^2}\)
Budujemy macierz pochodnych (i-kolumna, j-wiersz):
\(\displaystyle{ \left( \frac{\partial y_i}{\partial x^j} \right) = \begin{pmatrix} \sin x^2 \cos x^3 & x^1 \cos x^2 \cos x^3 & - x^1 \sin x^2 \sin x^3 \\ \sin x^2 \sin x^3 & x^1 \cos x^2 \sin x^3 & x^1 \sin x^2 \cos x^3 \\ \cos x^2 & -x^1 \sin x^2 & 0 \end{pmatrix}}\)
Tensor metryczny ma postać:
\(\displaystyle{ g_{ij} =\left( \frac{\partial y_k}{\partial x^i}\frac{\partial y_k}{\partial x^j}\right) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left( x^1 \right)^2 & 0 \\ 0 & 0 & \left( x^1\sin x^2\right) ^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2 \vartheta \end{pmatrix}}\)
