Mnożenie wektorów

[adambak]

Mam pytanko.. czytam notatki z poprzedniego wykładu i staram się robić zadania, jednak jedna rzecz mnie męczy i nie wiem czy to pytanie jest głupie czy nie..

Otóż na wykładzie zdefiniowaliśmy, że macierz jednokolumnową będziemy nazywać wektorem.. Skądinąd wiem, że istnieje coś takiego jak mnożenie wektorów.. ale skoro wektor jest macierzą jednokolumnową, to zgodnie z definicją mnożenia macierzy nie da się takiej operacji przeprowadzić na dwóch wektorach.. pierwsza macierz musi przecież mieć tyle kolumn co druga wierszy, żeby się dało.. co źle rozumiem?

[szw1710]

Formalnie tak. Więc wektory można traktować kolumnowo lub wierszowo. Iloczyn wektora wierszowego przez kolumnowy jest iloczynem skalarnym. Dla wektora nie ma większego znaczenia czy zapisujesz go w wierszu czy w kolumnie. Istotne jest, że jego współrzędne są uporządkowane (para uporządkowana, trójka, czwórka, piątka uporządkowana itp.) W tym sensie zapis macierzowy wektora jest czasem wygodniejszy.

[adambak]

Rozumiem, to iloczyn skalarny mamy załatwiony i się zgadza.. ale jest jeszcze pojęcie iloczynu wektorowego.. czy to już ma mniej wspólnego z wektorami jako macierzami? staram się zrozumieć jego definicję na wikipedii, jednak same nowe pojęcia(no może nie same, ale sporo).. chciałbym chociaż intuicyjnie umieć to odróżnić, póki nie zostanie wprowadzone na jakimś wykładzie.. dodam, że macierze są czymś zupełnie nowym dla mnie(wiem, dziwne ale niestety)..

[szw1710]

Iloczyn wektorowy ma raczej związek z wyznacznikiem \(\displaystyle{ 3\times 3}\). Ustawiasz współrzędne wektorów w taki wyznacznik i masz iloczyn wektorowy. Jest on immanentnie związany z przestrzenią trójwymiarową. Dokładniej:

\(\displaystyle{ u=[x_1,y_1,z_1],\;v=[x_2,y_2,z_2].}\). Niech \(\displaystyle{ i,j,k}\) będą wersorami osi układu. Wtedy

\(\displaystyle{ u\times v=\begin{vmatrix}i&j&k&\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}\,.}\)

Jeśli w roli \(\displaystyle{ i,j,k}\) podłożysz trzeci wektor \(\displaystyle{ w}\), to otrzymasz iloczyn mieszany trójki uporządkowanej wektorów \(\displaystyle{ (w,u,v)=w\circ(u\times v).}\)