Udowodnij, że iloczyn skalarny \(\displaystyle{ a\circ b}\) jest liniowy.
To jest moje zadanie domowe, czy ktoś wie jak tego dowieść?
iloczyn skalarny
-
RYBCZAN
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 30 paź 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Universe
iloczyn skalarny
Ostatnio zmieniony 19 paź 2011, o 20:17 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
szw1710
iloczyn skalarny
Jeśli już, to dwuliniowy.
Co należy dowieść, zależy od sposobu wprowadzenia iloczynu skalarnego. W rzeczywistej przestrzeni unitarnej jest to bowiem funkcjonał dwuliniowy symetryczny i dodatnio określony. Więc dwuliniowość wynika z samej definicji.
Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) wprowadzić inaczej: jeśli \(\displaystyle{ x=(x_1,\dots,x_n)}\), a \(\displaystyle{ y=(y_1,\dots,y_n)}\), to
\(\displaystyle{ x\circ y=\sum_{i=1}^nx_iy_i.}\)
Wtedy należy sprawdzić następujące własności:
Co należy dowieść, zależy od sposobu wprowadzenia iloczynu skalarnego. W rzeczywistej przestrzeni unitarnej jest to bowiem funkcjonał dwuliniowy symetryczny i dodatnio określony. Więc dwuliniowość wynika z samej definicji.
Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) wprowadzić inaczej: jeśli \(\displaystyle{ x=(x_1,\dots,x_n)}\), a \(\displaystyle{ y=(y_1,\dots,y_n)}\), to
\(\displaystyle{ x\circ y=\sum_{i=1}^nx_iy_i.}\)
Wtedy należy sprawdzić następujące własności:
- \(\displaystyle{ x\circ y=y\circ x}\) (trywialne)
- \(\displaystyle{ x\circ(y+z)=x\circ y+x\circ z}\)
- \(\displaystyle{ x\circ(\alpha y)=\alpha(x\circ y)}\)
- \(\displaystyle{ x\circ x\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ x\circ x=0\iff x=0}\) (wektor zerowy)