\(\displaystyle{ \varphi\in End\left( \mathbb{C}^3\right), A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array}\right)}\)-macierz \(\displaystyle{ \varphi}\) w bazie \(\displaystyle{ \left( \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)}\)
Wyznaczyć wektory własne, wartości własne i bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{C}^3}\) złożoną z wektorów własnych.
Proszę o rozwiązanie i małe wyjaśnienie, bo jestem zielony z tego tematu.-- 19 paź 2011, o 00:13 --Poszperałem po internecie i udami mi się znaleźć jak się to rozwiązuje. Podam rozwiązanie jakby kogoś to interesowało.
\(\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array}\right)\\
A_\lambda=A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} \lambda&0&0 \\ 0&\lambda&0 \\ 0&0&\lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -\lambda&0&1 \\ 0&1-\lambda&0 \\ 1&0&-\lambda \end{array}\right)\\
\det A_\lambda=0\\
\det A_\lambda=-\lambda\left( 1-\lambda\right)\left( -\lambda\right) -\left( 1-\lambda\right) =-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=\lambda^2\left( -\lambda+1\right)-\left( -\lambda+1\right) =\left( \lambda^2-1\right) \left( -\lambda+1\right) =0\\
\lambda=-1 \quad \vee \quad \lambda=1 \quad <--\mbox{ są to wartości własne}\\
1^\circ \quad \lambda=-1\\
\left(\begin{array}{ccc} -\lambda&0&1 \\ 0&1-\lambda&0 \\ 1&0&-\lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1 \\ 0&2&0 \\ 1&0&1 \end{array}\right)= \begin{cases} \varepsilon_1 + \varepsilon_3=0\\ \varepsilon_2=0 \\ \varepsilon_1 + \varepsilon_3=0\end{cases} \Rightarrow \varepsilon_1=-\varepsilon_3, \varepsilon_2=0\\
\varepsilon_3=a,\varepsilon_2=0,\varepsilon_1=-a\\
V\left( -1\right) =\left[\begin{array}{c} -a \\ 0 \\ a \end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\\
V\left( -1\right) =lin\left( \left[\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right)\\
2^\circ \quad \lambda=1\\
\left(\begin{array}{ccc} -\lambda&0&1 \\ 0&1-\lambda&0 \\ 1&0&-\lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -1&0&1 \\ 0&0&0 \\ 1&0&-1 \end{array}\right)= \begin{cases} -\varepsilon_1 + \varepsilon_3=0\\ 0=0 \\ \varepsilon_1 - \varepsilon_3=0\end{cases} \Rightarrow \varepsilon_1=\varepsilon_3\\
\varepsilon_3=a,\varepsilon_2=b,\varepsilon_1=a\\
V\left( 1\right) =\left[\begin{array}{c} a \\ b \\ a \end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]\\
V\left( 1\right) =lin\left( \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]\right)\\
dimV\left( -1\right)+dimV\left( 1\right)=1+2=3\\
\mbox{czyli baza przestrzeni } \mathbb{C}^3 \mbox{ złożona z wektorów własnych, to: }\left( \left[\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]\right)}\)