Dla jakich wartości parametru układ ma 1 rozwiązanie

[Arhen]

Mam takie zadanie:

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) poniższy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie nad ciałem \(\displaystyle{ Z_{5}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+az=1 \\ ax+z=0 \\x+2y+z=3 \end{cases}}\)

Wiem, że wyznacznik macierzy musi być różny od 0.

Wyliczam wyznacznik:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&0&a\\a&0&1\\1&2&1\end{array}\right|}\)

i otrzymuję wynik: \(\displaystyle{ 2a^{2}-2 \neq 0}\)

I teraz jeśli chcę liczyć równanie to otrzymuję deltę ujemną.
Pewnie coś źle robię i proszę o pomoc.

[Qń]

Ale po co liczysz deltę?
\(\displaystyle{ 2a^2-2=2(a-1)(a+1)=2(a-1)(a-4)}\)

Q.

[Arhen]

Wiem, że pewnie zapytam teraz o kompletne podstawy ale skąd wzięło się to \(\displaystyle{ 2(a-1)(a-4)}\)?

[Qń]

W \(\displaystyle{ Z_5}\) mamy \(\displaystyle{ 1=-4}\).

Q.

[Arhen]

A dobrze rozumiem, że odpowiedzią jest \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -4}\)?