Pokazać, że macierze...

[Woniak]

1. Macierze A, B są kwadratowe i przemienne. Pokazać:
a)\(\displaystyle{ A^2B^3=A^3B^2}\)
b)\(\displaystyle{ (BA)^2=A^2B^2}\)

2. Pokazać, że każdą macierz kwadratową można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej \(\displaystyle{ (A^T=A)}\) i antysymetrycznej \(\displaystyle{ (A^T=-A)}\).

I pytanie: macierz \(\displaystyle{ A=0}\) to taka macierz, gdzie wszystkie elementy są równe 0?

[Psiaczek]

Ad.2 \(\displaystyle{ A=( \frac{A+A^T}{2} ) +( \frac{A-A^T}{2} )}\)

sprawdź sam, że pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi antysymetryczną, wykorzystując fakt że podwójna transpozycja daje znów wyjściową macierz, bo mi się już nie chce

Ad.1b
\(\displaystyle{ (BA)^2=BABA=ABBA=ABAB=AABB=A^2B^2}\) wykorzystując ileś tam razy \(\displaystyle{ AB=BA}\)


Ad.1a dla dowolnych macierzy A,B kwadratowych i przemiennych nie zachodzi to co podałeś, gdyż moglibyśmy za A przyjąć macierz jednostkową , która komutuje z dowolna macierzą i otrzymalibyśmy że dla dowolnej B jej kwadrat jest równy trzeciej potędze , dobrze przepisałeś?

Ad.pytanie :tak

[isaac]

Źle przepisał, powinno być:
\(\displaystyle{ A^2 \cdot B^3 = B^3 \cdot A^2}\)