Witam,
Mam mały problem z wyznaczeniem macierzy A do n-potęgi. Widziałem na tym forum podobny temat, jednak pomimo analogii, moje zadanie nie jest już takie łatwe, sam zapisałem kilka kartek A4 i nadal nie mam pomysłów:
Wyznacz macierz A do potęgi n
A= \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cos \alpha &-sin \alpha\\sin \alpha &cos \alpha \end{bmatrix}}\)
Z góry dziękuję za pomoc, ew. porady .
Wyznacz macierz A do potęgi n
-
szw1710
Wyznacz macierz A do potęgi n
Jest to macierz obrotu punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół początku układu. \(\displaystyle{ n}\)-ta potęga tej macierzy odpowiada \(\displaystyle{ n}\)-krotnemu złożeniu tego przekształcenia liniowego z sobą, więc obrotowi o kąt \(\displaystyle{ n\alpha.}\) Zatem
\(\displaystyle{ A^n=\begin{bmatrix}\cos n\alpha &-\sin n\alpha\\\sin n\alpha &\cos n\alpha \end{bmatrix}}\)
Skąd to wziąłem? Z doświadczenia - na oko mi się wydawało, że ta macierz to macierz obrotu, więc sprawdziłem licząc na liczbach zespolonych, że tak jest istotnie. Znając interpretację geometryczną zadanie jest trywialne.
Jeśli chcesz inaczej, policz na palcach \(\displaystyle{ A^2}\), \(\displaystyle{ A^3}\) i wynik uogólnij indukcyjnie.
Wiem, że potęgi macierzy wylicza się w oparciu o wartości własne, ale tutaj to zbyt skomplikowane wobec rozwiązania, jakie proponuję.
Albo inaczej: wykaż, że \(\displaystyle{ A(\alpha)\cdot A(\beta)=A(\alpha+\beta)}\)
\(\displaystyle{ A(\alpha)}\) oznacza macierz z kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). To jeszcze prostsze. Postać potęgi otrzymasz stąd natychmiastowo (formalnie przez indukcję).
\(\displaystyle{ A^n=\begin{bmatrix}\cos n\alpha &-\sin n\alpha\\\sin n\alpha &\cos n\alpha \end{bmatrix}}\)
Skąd to wziąłem? Z doświadczenia - na oko mi się wydawało, że ta macierz to macierz obrotu, więc sprawdziłem licząc na liczbach zespolonych, że tak jest istotnie. Znając interpretację geometryczną zadanie jest trywialne.
Jeśli chcesz inaczej, policz na palcach \(\displaystyle{ A^2}\), \(\displaystyle{ A^3}\) i wynik uogólnij indukcyjnie.
Wiem, że potęgi macierzy wylicza się w oparciu o wartości własne, ale tutaj to zbyt skomplikowane wobec rozwiązania, jakie proponuję.
Albo inaczej: wykaż, że \(\displaystyle{ A(\alpha)\cdot A(\beta)=A(\alpha+\beta)}\)
\(\displaystyle{ A(\alpha)}\) oznacza macierz z kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). To jeszcze prostsze. Postać potęgi otrzymasz stąd natychmiastowo (formalnie przez indukcję).
Wyznacz macierz A do potęgi n
Policz \(\displaystyle{ A ^{2}, \ A ^{3}, \ A ^{4}, A ^{5}, \ A ^{6}}\). Liczy się szybko, minutę na każdą potęgę, i będzie widać regułę.