iloczyn skalarny

[matciok]

Dane są 2 wektory \(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right| =4}\) i \(\displaystyle{ \left| \vec{b} \right| =2}\). Obliczyć kąt pomiędzy wektorami wiedząc że wektory \(\displaystyle{ 3 \vec{a} - \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{a} +2 \vec{b}}\) są prostopadłe

wiem ze iloczyn skalarny wektorów prostopadłych wynosi 0 ale jak to zastosować?

[miki999]

Wymnóż skalarnie te prostopadłe wektory.

[Psiaczek]

Dane są 2 wektory \(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right| =4}\) i \(\displaystyle{ \left| \vec{b} \right| =2}\). Obliczyć kąt pomiędzy wektorami wiedząc że wektory \(\displaystyle{ 3 \vec{a} - \vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{a} +2 \vec{b}}\) są prostopadłe

wiem ze iloczyn skalarny wektorów prostopadłych wynosi 0 ale jak to zastosować?

Daruję sobie strzałki nad wektorami,żeby było szybciej. Korzystamy z tego że iloczyn skalarny wektora przez siebie samego jest równy kwadratowi jego długości, jak również z przemienności i rozdzielności iloczynu skalarnego. Mamy więc z warunku prostopadłości:

\(\displaystyle{ 0=(3a-b)(a+2b)=3a^2-ba+6ab-2b^2=3 \cdot 4^2+5ab-2 \cdot 2^2=40+5ab}\)

stąd \(\displaystyle{ ab=-8}\) i można to wstawić do wzoru na cosinus kąta między wektorami.