Macierze - dowody

[pawellogrd]

Wiem, że zadania pojawiło się 3 razy na forum, ale w żadnym nie odnalazłem konkretnego rozwiązania dlatego zakładam ten wątek. Chodzi o takie zadanie:

Uzasadnić, że iloczyn:

a) macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierzą diagonalną
b) macierzy trójkątnych dolnych tego samego stopnia jest macierzą trójkątną dolną

Dla a) myślałem o czymś takim (wiem trochę dziwna mi ta macierz wyszła, ale myślę, że widać o co mi chodzi):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a _{11}&0&...&0\\0&a _{22}&...&0\\.&...&.&.\\0&...&...&a _{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} b _{11}&0&...&0\\0&b _{22}&...&0\\.&...&.&.\\0&...&...&b _{nn}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a _{11}b _{11}&0&...&0\\0&a _{22}b _{22}&...&0\\.&...&.&.\\0&...&...&a _{nn}b _{nn}\end{bmatrix}}\)

tylko czy to w ogóle można traktować jako dowód?

Z góry dzięki za pomoc

[Lider Artur]

a) przez sprzeczność. Załóż, że macierz którą otrzymujemy nie jest diagonalna.

[pawellogrd]

No ok ale tak konkretniej jak to zapisać? Bo rzecz w tym, że nie mam pojęcia jak to zapisać w ogóle...

[Lider Artur]

Niech \(\displaystyle{ A,B}\) to będą macierze diagonalne tego samego stopnia n.
Niech \(\displaystyle{ C=A \cdot B}\) nie będzie macierzą diagonalną. Wówczas istnieje taki wyraz \(\displaystyle{ c_{ij}}\), \(\displaystyle{ i \neq j}\), że \(\displaystyle{ c_{ij} \neq 0}\).
A \(\displaystyle{ c_{ij}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}\). Stąd \(\displaystyle{ (\exists k\in [n])a_{ik}b_{kj} \neq 0}\).
I tutaj dostajemy sprzeczność, bo \(\displaystyle{ i \neq j}\).

[pawellogrd]

Dziękuję