Mam problem z poniższym zadaniem. Dopiero zaczynam w dziedzinie algebry liniowej i nie mam pojęcia jak je rozwiązać. Prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku z wyjaśnieniem co skąd się bierze.
Niech G będzie zbiorem wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : R \rightarrow R}\) postaci \(\displaystyle{ f(x) = ax + b}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b \in R}\)i \(\displaystyle{ a \neq 0}\).
a) Udowodnić, że G ze składaniem funkcji jako działaniem tworzy grupę.
b) W grupie G obliczyć \(\displaystyle{ (5x + 3) ^{-1} \cdot (3x + 2)}\)
Dodatkowo zadanie drugie:
Ile różnych działań wewnętrznych można określić w zbiorze zawierającym n elementów ? Ile jest takich działań które są dodatkowo przemienne?
Proszę o rozwiązanie zadań krok po kroku, szczególnie zależy mi na tym pierwszym.
Udowodnić że składanie funkcji jako działanie tworzy grupę
-
szw1710
Udowodnić że składanie funkcji jako działanie tworzy grupę
a) Sprawdzenie aksjomatów grupy. Zauważ, że elementami G są bijekcje.
Albo inaczej, co wymaga nieco więcej wiedzy. Funkcja odwrotna do funkcji liniowej tez jest liniowa, złożenie funkcji liniowych jest liniowe, więc jeśli \(\displaystyle{ f,g\in G}\), to \(\displaystyle{ fg^{-1}\in G}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ G}\) jest podgrupą grupy wszystkich bijekcji \(\displaystyle{ R\to R}\), więc w szczególności grupą.
b) Zadanie jest źle sformułowane, aczkolwiek zrozumiałe. Masz wyznaczyć \(\displaystyle{ f^{-1}g}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=5x+3}\), a \(\displaystyle{ g(x)=3x+2.}\) W tym celu wyznacz \(\displaystyle{ f^{-1},}\) czyli funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f}\), którą następnie złóż z \(\displaystyle{ g}\).
Albo inaczej, co wymaga nieco więcej wiedzy. Funkcja odwrotna do funkcji liniowej tez jest liniowa, złożenie funkcji liniowych jest liniowe, więc jeśli \(\displaystyle{ f,g\in G}\), to \(\displaystyle{ fg^{-1}\in G}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ G}\) jest podgrupą grupy wszystkich bijekcji \(\displaystyle{ R\to R}\), więc w szczególności grupą.
b) Zadanie jest źle sformułowane, aczkolwiek zrozumiałe. Masz wyznaczyć \(\displaystyle{ f^{-1}g}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=5x+3}\), a \(\displaystyle{ g(x)=3x+2.}\) W tym celu wyznacz \(\displaystyle{ f^{-1},}\) czyli funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f}\), którą następnie złóż z \(\displaystyle{ g}\).
Udowodnić że składanie funkcji jako działanie tworzy grupę
Moge prosic o przyklad rozwiazania? Bo nie bardzo rozumiem jak mam to rozwiazac, przy sprawdzeniu grupy sprawdzalem lacznosc element neutralny i elem. odwrotny poprzez podstawienie do wzoru działania dowolnych a, b, c. Czyli tutaj do wzoru funkcji mam tez podstawiac a, b, c? Prosilbym jednak o rozwiazanie.
Udowodnić że składanie funkcji jako działanie tworzy grupę
Podbijam temat, mógłbyś ktoś przeanalizować rozwiązanie krok po kroku? Nie mogę sobie z tym przypadkiem poradzic a niedlugo kolokwium...