zadania teoretyczne dot. macierzy

[Archaniol]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań:
1) Wykazać, że jeśli A i B są macierzami tego samego rozmiaru, posiadającymi ten sam zbiór wektorów własnych, to \(\displaystyle{ AB = BA}\). Pokazać, że odwrotna implikacja nie jest prawdziwa.

2) Wykazać, że jeśli A i B są odwracalnymi macierzami tego samego rozmiaru i takimi, że macierz A+B jest odwracalna, to macierz \(\displaystyle{ (A^{-1}+B^{-1})}\) jest odwracalna i

\(\displaystyle{ (A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A}\)

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[marcinz]

W pierwszym zadaniu rozważasz wartości własne jako liczby zespolone? Czy zakładasz, że wektorów własnych jest tyle ile wymiar macierzy? W drugim podnieś \(\displaystyle{ A(A+B)^{-1}B}\) do potęgi \(\displaystyle{ -1}\).

[Archaniol]

Wartości własne jako liczby zespolone. W treści nie było nic powiedziane o tym, że wektorów ma być dokładnie tyle ile wynosi wymiar macierzy.

[marcinz]

Chyba mam kontrprzykład jeżeli nie ma założenia, że wektorów własnych jest tyle ile wymiar macierzy. Ale sprawdź go, bo może coś przeoczyłem. W każdym razie bierzemy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\0 & 2 & 1\\ 0 & -4 & 2\end{bmatrix}}\). Wtedy obie macierze mają jeden wektor własny \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ AB \neq BA}\).

[Archaniol]

Ale jak wyliczymy wartości własne macierzy \(\displaystyle{ B}\) to otrzymam \(\displaystyle{ 0, 2-2i, 2+2i}\) , a tym dwóm ostatnim odpowiadają wektory własne inne niż \(\displaystyle{ (1,0,0)}\), więc ten kontrprzykład jest niefajny.

[norwimaj]

A dla takich macierzy to działa?
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix},
B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 1 & 2\end{bmatrix}}\)

[marcinz]

Miałem literówkę chciałem napisać \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\0 & 2 & 1\\ 0 & -4 & -2\end{bmatrix}}\).

[Archaniol]

Kontrprzykład jest dobry, czyli potrzebne jest założenie, że liczba wektorów własnych musi być równa wymiarowi macierzy. A mając to założenie zadanie staje sie dużo prostsze. Dzięki wielkie za pomoc.