Macierze

[Geldron]

Zad 1
2x + y- z=0
x+y=0
-4x-2y+2z=0
3x+2y-z=0

Zad 2.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}X\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1&\\2&1&0&\\1&-1&0&\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3&\\4&3&2&\\1&-2&5&\end{array}\right]}\)


Zad 3.
y+z+t=1
x +z+t=2
x+y+t=-1
x+y+z=o

Zad 4.
Jaką liczbę należy wstawic w miejsce x aby rząd macierzy był mniejszy od 4

\(\displaystyle{ Rz(\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&-1&\\2&-1&1&2&\\5&-1&x&x&\\7&-2&4&5&\end{array}\right])}\)

[Puzon]

co do zad 4 to oblicz wyznacznik tej macierzy i przyrównaj go do 0, potem rozwiąż równanie z niewiadomą x

[jasny]

Zad 2.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\4&3&2\\1&-2&5\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ X\cdot A=B/\cdot A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=B\cdot A^{-1}}\)
Znajdujemy macierz odwrotną do A:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&0\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\sim ft[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\1&0&-1\end{array}\right]\sim ft[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&-1&2\\0&0&3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&0\\-3&2&-1\end{array}\right]\sim}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&-1&0\\-1&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{array}\right]\sim ft[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-1&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{array}\right]\sim ft[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-1&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-1&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\4&3&2\\1&-2&5\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-1&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{array}\right]= ft[\begin{array}{ccc}-3&2&0\\-2&\frac{11}{3}&-\frac{4}{3}\\-5&3&0\end{array}\right]}\)

[Geldron]

Zad 1
2x + y- z=0
x+y=0
-4x-2y+2z=0
3x+2y-z=0

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&-1&\\1&1&0&\\-4&-2&2&\\3&2&1&\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ U=\left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&0&\\1&1&0&0&\\-4&-2&2&0&\\3&2&1&0&\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ R(U)\leq4}\) \(\displaystyle{ det U= 0}\)
\(\displaystyle{ R(U)}\)

[Puzon]

Geldron, z tym rzędem to nie wystarczy tylko jednego minora 3x3 sprawdzić, ale pozostałe też, dopiero jak wszystkie podwyznaczniki 3x3 macierzy A są zerowe, to możesz stwierdzić, że rząd nie jest 3 - więc najpierw rzetelnie wyznacz rząd

[ Dodano: 19 Styczeń 2007, 15:28 ]
a i co do zapisu
det [A] = |A|
czyli zwróć uwagę na nawiasy jakich używasz

[Geldron]

Puzon to nie jest tak, że jak minor wychodzi 0 to juz rząd taki byc nie może?? Mógłbyś dokączyc po swojemu? Bede wdzięczny

[Puzon]

w macierzy 4x3 są 4 minory 3x3 (wystarczy usunąć któryś wiersz), dopiero gdy wszystkie 3x3 są zerowe to rząd nie jest 3, a u ciebie
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&1&0&\\-4&-2&2&\\3&2&1\end{array}\right|=4}\)
zatem rząd A (i jednocześnie U) jest równy 3, więc dalej po prostu pozbywasz się pierwszego równania (przy okazji zobacz że trzecie to pierwsze razy -2) i rozwiązujesz jak zwykłego Crammera (np. metodą wyznacznikową), i w tym przypadku rozwiązaniem jest (0,0,0) ponieważ wyrazy wolne są zerami (układ jednorodny)

[Geldron]

Wielkie dzięki kolejny punkt dla Ciebie