udowodnij, że macierz A^2 ma wartość własną

[ciekawskistudent]

Proszę o pomoc w zadaniu. Nigdzie nie znalazłem takiego zadania więc założyłem temat. Nie pamiętam w 100% treści zadania ale mniej więcej brzmi ona:

Udowodnij, że jeśli macierz A ma wartość (czy tam wartości) własną LAMBDA to macierz A^{2} ma wart. wł. LAMBDA^{2}.

Umiem liczyć wartości własne i wektory własne na przykładach liczbowych, ale jak to udowodnić coś takiego? Treść jest w 90% taka jak napisałem.]

Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc.

[Psiaczek]

Proszę o pomoc w zadaniu. Nigdzie nie znalazłem takiego zadania więc założyłem temat. Nie pamiętam w 100% treści zadania ale mniej więcej brzmi ona:

Udowodnij, że jeśli macierz A ma wartość (czy tam wartości) własną LAMBDA to macierz A^{2} ma wart. wł. LAMBDA^{2}.

Umiem liczyć wartości własne i wektory własne na przykładach liczbowych, ale jak to udowodnić coś takiego? Treść jest w 90% taka jak napisałem.]

Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc.

Będziemy korzystać z tego, że macierz jednostkowa I, jest o ile dobrze pamiętam przemienna z każdą macierzą kwadratową w mnożeniu macierzy.

Założenie :\(\displaystyle{ det (A- \alpha I)=0}\)

Do pokazania:\(\displaystyle{ det (A^2- \alpha ^2 I)=0}\)

Ale: \(\displaystyle{ A^2- \alpha ^2 I=(A- \alpha I)(A+ \alpha I)}\) na mocy tej uwagi o przemienności powyżej (kwadrat jednostkowej to też jednostkowa), i z twierdzenia o mnożeniu wyznaczników i z założenia dostajemy

Stąd \(\displaystyle{ det(A^2- \alpha ^2 I)=det(A- \alpha I) \cdot det(A+ \alpha I)=0}\)

Koniec

[ciekawskistudent]

Bardzo serdecznie Ci dziękuję. Nawet nie wiesz, ile nad tym siedziałem (i jak daleko byłem od rozwiązania ). Bardzo mi pomogłeś.