Macierze spełniające warunek

[fon_nojman]

Znaleźć nieosobliwe macierze \(\displaystyle{ A,B}\) rzeczywiste \(\displaystyle{ 2 \times 2,}\) dodatnio określone o śladzie jeden takie, że \(\displaystyle{ \frac{\langle Av, w\rangle}{\langle Av, v\rangle}=\frac{\langle Bv, w\rangle}{\langle Bv, v\rangle},}\)
gdzie \(\displaystyle{ v,w}\) to baza ortonormalna \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2.}\)

[marcinz]

Możesz sprecyzować pytanie? Chodzi Ci o przykład takich macierzy? Wektory \(\displaystyle{ v,w}\) można wybrać czy ma zachodzić dla wszystkich baz (możliwe, że to to samo ale nie przeliczyłem co się dzieje przy zamianie bazy)?

[fon_nojman]

Może być przykład, tylko taki że \(\displaystyle{ A \neq B.}\) Baza jest dowolna ustalona czyli \(\displaystyle{ A,B}\) będą zależne od bazy.

[marcinz]

Proponuje szukać \(\displaystyle{ A,B}\) w postaci diagonalnej. Niech \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0& a_2\end{bmatrix}}\). Wybieramy liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) tak, aby \(\displaystyle{ a_1>0,a_2>0}\) (co zapewni dodatnią określoność), \(\displaystyle{ a_1+a_2=1}\) (ślad równy \(\displaystyle{ 1}\)). Podobnie dla \(\displaystyle{ B}\). Dla \(\displaystyle{ v=(1,0),w=(0,1)}\) zachodzą równości \(\displaystyle{ <Av,w>=<(a_1,0),(0,1)>=0=<(b_1,0),(0,1)>=<Bv,w>}\).

[fon_nojman]

Dla bazy kanonicznej łatwo rozwiązać to nawet w przypadku macierzy niediagonalnych i to wystarczy bo dowolną bazę można sprowadzić do bazy kanonicznej za pomocą macierzy ortogonalnej.