Baza wielomianów Bernsteina

[MisterWolf]

Mam za zadanie pokazać, że wielomiany Bernsteina tworzą bazę. W związku z tym chcę pokazać jak wyrazić zwykłą bazę potęgową za pomocą kombinacji liniowej wielomianów Bernsteina.
Znalazłem gdzieś, że teza: \(\displaystyle{ t^k= \sum_{i=k}^{n} \frac{i(i-1)...(i-k+1)}{n(n-1)...(n-k+1)} B_{i}^{n}(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ B_{i}^{n}= {n \choose i}x^i(1-x)^{n-i}}\)
Dowód jest indukcyjny po k i mam problem z 1 przejściem.

\(\displaystyle{ tt^{k-1} = \sum_{i=k-1}^{n} \frac{i(i-1)...(i-k+2)}{n(n-1)...(n-k+2)}x B_{i}^{n}(x)=\sum_{i=k-1}^{n} \frac{i(i-1)...(i-k+2)}{n(n-1)...(n-k+2)}\frac{i+1}{n+1} B_{i+1}^{n+1}(x)=\sum_{i=k-1}^{n} \frac{(i+1)i(i-1)...(i-k+2)}{(n+1)n(n-1)...(n-k+2)} B_{i+1}^{n+1}(x)=\sum_{i=k}^{n+1} \frac{i(i-1)...(i-k+1)}{(n+1)n(n-1)...(n-k+2)} B_{i}^{n+1}(x)}\)
Moje pytanie brzmi jak to co mi wyszło ma się do prawej strony tezy ? Da się to jakoś przekształcić, aby to wyszło (trzeba jakoś odjąć 1 od każdego n, ale czy to zachowuje równość)? Z góry dzięki za pomoc.

[szw1710]

Wielomiany Bernsteina są ortogonalne z jakąś wagą w \(\displaystyle{ [-1,1].}\) Będąc ortogonalnymi są liniowo niezależne. Jaka to waga - sprawdź w podręcznikach analizy numerycznej czy teorii falek.

[MisterWolf]

Ok, dzięki za szybką odpowiedź, ale czy da się uratować to powyższe rozwiązanie ?
Ta równość, którą chcę pokazać przydałaby mi się do zamiany postaci potęgowej danego wielomianu na postać Beziera.