parametry i baza

[casusrad]

Znalezc taka wartosc parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) by ciag \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}, x_{3})}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{1}=(1,2,3), x_{2}=(3,2,1), x_{3}=(4, , 5)}\) , tworzył baze przestrzeni \(\displaystyle{ (R^{3}, R, +, )}\).

[myniek]

ja bym to zrobił po prostu tak: wektory tworzą bazę wtedy gdy są liniowo niezależne i każdy z nich jest kombinacją liniową pozostałych, więc sprawdziłbym dla jakiego alpha wektory te tworzą kombinację liniową. Poprawcie mnie jeśli się mylę?
pzdr

[W_Zygmunt]

Aby wektory tworzyły bazę przestrzenii muszą być liniowo niezależne, oraz każty wektor przestrzenii musi dać się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy.
Zapytajmy zatem kiedy te wektory będą liniowo zależne (dla jakiej wartości alfa).
Tworzymy macież z wektorów
\(\displaystyle{ \left [\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 3&2&1\\ 4&\alpha &5\end{array}\right ]}\)
Liczymy wyznacznik
\(\displaystyle{ DET(\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 3&2&1\\ 4&\alpha &5\end{array}\right])\,=\,8\cdot - 36}\)
Wektory będą liniowo zależne gdy wyznacznik będzie równy zero
\(\displaystyle{ \alpha \,=\,\frac{9}{2}}\)
Zatem dla
\(\displaystyle{ \alpha \frac{9}{2}}\)
wektory są liniowo niezależne.
Przedstawiamy dowolny wektor jako kombinację liniową wektorów bazy
\(\displaystyle{ [x,y,z]\,=\,t\cdot [1,2,3] + r\cdot [3,2,1] + s\cdot [4,\alpha,5]}\)
\(\displaystyle{ [x,y,z]\,=\,[3\cdot r + 4\cdot s + t,\alpha\cdot s + 2\cdot r + 2\cdot t,r + 5\cdot s + 3\cdot t]}\)
Rozwiązujemy ten układ równań ze względu na zmienne t,r,s
\(\displaystyle{ [t\,=\, - \frac{ x\cdot (\alpha - 10) + 11\cdot y + z\cdot (8 - 3\cdot ) }{ 4\cdot (2\cdot - 9) },r\,=\,\frac{ x\cdot (3\cdot - 10) - 7\cdot y + z\cdot (8 - ) }{ 4\cdot (2\cdot - 9) },s\,=\, - \frac{ x - 2\cdot y + z }{ 2\cdot - 9 }]}\)
Jak widać, jeśli spełniony jest wrunek
\(\displaystyle{ \alpha \frac{9}{2}}\)
to dla każdych x,y i z, można wyliczyć t,s i r.