Udowodnij równość

[ariadna]

Udowodnij, jedynie na podstawie wlasności, że zachodzi:
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{ccc}b+c&a+c&a+b\\b_{1}+c_{1}&a_{1}+c_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&a_{2}+c_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]=2det\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{array}\right]}\)

[Puzon]

potrzebne pogrubiłem
Właściwości wyznaczników:
-Przestawienie wszystkich wierszy na miejsce kolumn i odwrotnie, bez zmiany ich porządku, nie zmienia wartości wyznacznika.
-Przestawienie dwóch dowolnych wierszy (lub kolumn) zmienia wartość wyznacznika na przeciwny.
-Jeżeli wyznacznik ma dwa wiersze (lub kolumny) takie same, to jego wartość równa się zeru.
-Jeżeli wyznacznik ma jakiś wiersz (lub kolumnę) złożony z samych zer, to jego wartość równa się zeru.
-Jeżeli wszystkie elementy dowolnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika pomnożymy przez pewną liczbę, to wartość wyznacznika zostanie przemnożona przez tę liczbę.
-Jeżeli do elementów dowolnego wiersz (lub kolumny) dodamy lub odejmiemy:
_____elementy innego wiersza,
_____elementy innego wiersza pomnożone przez tę samą liczbę,
_____dowolną kombinację liniową innych wierszy (lub kolumn),
to wartość wyznacznika nie zmienia się.

[ Dodano: 16 Styczeń 2007, 23:35 ]

Udowodnij, jedynie na podstawie wlasności, że zachodzi:
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{ccc}b+c&a+c&a+b\\b_{1}+c_{1}&a_{1}+c_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&a_{2}+c_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]=2det\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{array}\right]}\)

w macierzy zamieniam miejscami
K1 z K3, potem K2 z K3(starą K1)
\(\displaystyle{ =det\left[\begin{array}{ccc}a+b&b+c&a+c\\a_{1}+b_{1}&b_{1}+c_{1}&a_{1}+c_{1}\\a_{2}+b_{2}&b_{2}+c_{2}&a_{2}+c_{2}\end{array}\right]=}\)

następnie K1=:K1-K2+K3
\(\displaystyle{ =det\left[\begin{array}{ccc}2a&b+c&a+c\\2a_{1}&b_{1}+c_{1}&a_{1}+c_{1}\\2a_{2}&b_{2}+c_{2}&a_{2}+c_{2}\end{array}\right]=}\)

teraz K3=:K3-0,5K1
\(\displaystyle{ =det\left[\begin{array}{ccc}2a&b+c&c\\2a_{1}&b_{1}+c_{1}&c_{1}\\2a_{2}&b_{2}+c_{2}&c_{2}\end{array}\right]=}\)

pozostaje posprzątać w K2, czyli K2=:K2-K3
\(\displaystyle{ =det\left[\begin{array}{ccc}2a&b&c\\2a_{1}&b_{1}&c_{1}\\2a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{array}\right]=}\)

i wyciągnąć 2 przed wyznacznik
\(\displaystyle{ =2det\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{array}\right]}\)

[bolo]

\(\displaystyle{ \mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}b+c&a+c&a+b\\b_{1}+c_{1}&a_{1}+c_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&a_{2}+c_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]}\)

Od drugiej kolumny odejmuję pierwszą:

\(\displaystyle{ \mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}b+c&a-b&a+b\\b_{1}+c_{1}&a_{1}-b_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&a_{2}-b_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]}\)

Dodaję trzecią do drugiej:

\(\displaystyle{ \mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}b+c&2a&a+b\\b_{1}+c_{1}&2a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&2a_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]}\)

Teraz drobny zabieg

\(\displaystyle{ 2\mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}b+c&a&a+b\\b_{1}+c_{1}&a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&a_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]}\)

Od pierwszej odejmuję trzecią:

\(\displaystyle{ 2\mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}c-a&a&a+b\\c_{1}-a_{1}&a_{1}&a_{1}+b_{1}\\c_{2}-a_{2}&a_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]}\)

Do pierwszej dodaję drugą:

\(\displaystyle{ 2\mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}c&a&a+b\\c_{1}&a_{1}&a_{1}+b_{1}\\c_{2}&a_{2}&a_{2}+b_{2}\end{array}\right]}\)

Od trzeciej odejmuję drugą:

\(\displaystyle{ 2\mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}c&a&b\\c_{1}&a_{1}&b_{1}\\c_{2}&a_{2}&b_{2}\end{array}\right]}\)

Przestawiam kolumny - pierwszą i drugą:

\(\displaystyle{ -2\mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}a&c&b\\a_{1}&c_{1}&b_{1}\\a_{2}&c_{2}&b_{2}\end{array}\right]}\)

Przestawiam - tym razem drugą i trzecią:

\(\displaystyle{ 2\mbox{det}\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{array}\right]}\)

Ist das schon klar?

[ariadna]

Jetzt ist es schon bestimmt klar:)
Dziękuje Panowie:)