Wyznacznik macierzy unitarnej i hermitowskiej
Wyznacznik macierzy unitarnej i hermitowskiej
Muszę wykazać,że wyznacznikiem macierzy hermitowskiej jest liczba rzeczywista a unitarnej liczba zespolona o module 1...ale jak?!
Wyznacznik macierzy unitarnej i hermitowskiej
No to Panie:) To będzie tak:
\(\displaystyle{ A}\) - macierz unitarna odpowiadająca przekształceniu unitarnemu przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ (V, (*|*) )}\) w pewnej bazie \(\displaystyle{ (e_{i}) \in V}\),
\(\displaystyle{ (*|*)}\) - iloczyn skalarny.
Niech \(\displaystyle{ dimV = n}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ A}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) (być może nie wszystkie różne) wartości własnych. (Dlaczego?)
Niech \(\displaystyle{ v \in V}\) - wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).
Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ (Av|Av) = (\lambda \cdot v|\lambda \cdot v) = \lambda \cdot \overline{\lambda} \cdot (v|v)}\).
Tutaj to wyciągnięcie na drugiej współrzędnej sprzężenia wynika z definicji iloczynu skalarnego w przestrzeniach unitarnych.
Z drugiej mańki \(\displaystyle{ A}\) jest izometrią (jeśli tego nie widzisz, to nie jest trudne zadanie).
Zatem mamy, że: \(\displaystyle{ \lambda \cdot \overline{\lambda} \cdot (v|v) = (v|v)}\) co kończy dowód.
A z tą macierzą hermitowską, to po prostu pokaż, że jej wartości własne są rzeczywiste, bo to, że każda macierz hermitowska się diagonalizuje, to wiesz, co nie?
\(\displaystyle{ A}\) - macierz unitarna odpowiadająca przekształceniu unitarnemu przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ (V, (*|*) )}\) w pewnej bazie \(\displaystyle{ (e_{i}) \in V}\),
\(\displaystyle{ (*|*)}\) - iloczyn skalarny.
Niech \(\displaystyle{ dimV = n}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ A}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) (być może nie wszystkie różne) wartości własnych. (Dlaczego?)
Niech \(\displaystyle{ v \in V}\) - wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).
Wtedy mamy, że \(\displaystyle{ (Av|Av) = (\lambda \cdot v|\lambda \cdot v) = \lambda \cdot \overline{\lambda} \cdot (v|v)}\).
Tutaj to wyciągnięcie na drugiej współrzędnej sprzężenia wynika z definicji iloczynu skalarnego w przestrzeniach unitarnych.
Z drugiej mańki \(\displaystyle{ A}\) jest izometrią (jeśli tego nie widzisz, to nie jest trudne zadanie).
Zatem mamy, że: \(\displaystyle{ \lambda \cdot \overline{\lambda} \cdot (v|v) = (v|v)}\) co kończy dowód.
A z tą macierzą hermitowską, to po prostu pokaż, że jej wartości własne są rzeczywiste, bo to, że każda macierz hermitowska się diagonalizuje, to wiesz, co nie?