Znajdź rozwiązanie układu równań metodą el. Gaussa.

[msikorski]

Witam,
Mam problem z takim zadaniem.
\(\displaystyle{ x-3y+z=0}\)
\(\displaystyle{ 2x+y-2z=-1}\)
\(\displaystyle{ x+4y-3z=-1}\)
\(\displaystyle{ 3x-2y-z=-1}\)
I teraz robiąc metodą gaussa wychodzi mi że rząd numer 3 stanowi same 0.
I co dalej z takim fantem zrobić? Czy mam dążyć żeby ułożyć 0 w trójkąt tak jak powinno to być wg definicji? Czy już z taką macierzą mogę coś dalej zrobić?

Pozdrawiam.

[yorgin]

Tutaj link z podobnym problemem dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times3}\):

https://www.matematyka.pl/262859.htm

[msikorski]

No dobrze. Ale nadal nie wiem do końca jak mam to zrobić u siebie.

Po wykonaniu eliminacji gaussa otrzymuje coś takiego:

\(\displaystyle{ x-3y+z=0}\)
\(\displaystyle{ 7y-4z=-1}\)

I jak z tego układu równań znaleźć rozwiązania? 3 niewiadome a 2 równania.

[aalmond]

Masz układ nieoznaczony. Przyjmij \(\displaystyle{ x}\) jako parametr.

[msikorski]

Ok i w efekcie otrzymuje takie wyniki:

\(\displaystyle{ y= \frac{4z-1}{7}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{7x+3}{5}}\)

Tak powinno być?

[aalmond]

Nie do końca. Podstaw za \(\displaystyle{ x}\) na przykład \(\displaystyle{ p}\) i rozwiąż układ dwóch równań.

[msikorski]

Ok. Poprawiłem. Robię tak:
1. Układ równań:
\(\displaystyle{ p-3y+z=0}\)
\(\displaystyle{ 7y-4z=-1}\)

Z drugiego równania uzyskuje:
\(\displaystyle{ z= \frac{7y+1}{4}}\)

Podstawiam to do pierwszego równania i uzyskuje:
\(\displaystyle{ y= \frac{4p+1}{5}}\)

Podstawiam do drugiego równania y i uzyskuje:
\(\displaystyle{ z= \frac{28p+12}{20}}\)

Czyli obie zmienne z i y mam obliczone z parametrem p, który podstawiłem za x. Zgada się?

[aalmond]

\(\displaystyle{ z= \frac{28p+12}{20} =\frac{7p+3}{5}}\)
Do tego jeszcze dopisz:
\(\displaystyle{ x = p}\); gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb{R}}\)