Mam następujący problem. Muszę zminimalizować wyrażenie, zależne od zmiennych \(\displaystyle{ Q_0,..., Q_m}\) (muszę umieć dobrać te wartości), w tym celu jednak muszę najpierw umieć obliczyć kwadrat poniższej wektorowej normy euklidesowej (która jest jakimś iloczynem skalarnym) pod całką. Wyrażenie \(\displaystyle{ R(t)}\) zawiera te zmienne oraz jest też zależne od pewnego \(\displaystyle{ t}\). Jak w tej sytuacji jest zdefiniowany iloczyn skalarny ?
\(\displaystyle{ E(Q_0,..., Q_m) = \int_{t0}^{t1} ||P(t) - R(t)||^2 \mbox{d}t}\)
Z góry dzięki za pomoc.
Wektorowa norma euklidesowa
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Wektorowa norma euklidesowa
Jeśli \(\displaystyle{ P,R}\) są funkcjami o wartościach w przestrzeni euklidesowej, czyli \(\displaystyle{ P(t), Q(t)}\) to wektory w tej przestrzeni, wówczas \(\displaystyle{ \|P(t)-R(t)\|^2=\langle P (t)-Q(t),P(t)-Q(t)\rangle}\), gdzie \(\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle}\) jest zwykłym iloczynem skalarnym w tej przestrzeni euklidesowej.
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 1 raz
Wektorowa norma euklidesowa
\(\displaystyle{ P(t) = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i}S_i(1-t)^{n-i}t^i}\)
\(\displaystyle{ R(t) = \sum_{i = 0}^{r} \binom{r}{i}Q_i(1-t)^{r-i}t^i}\)
gdzie \(\displaystyle{ S_i}\) są dane, więc jak wyglądają wtedy te wektory dla \(\displaystyle{ P(t) - R(t)}\) ? Tzn. jak w ogóle potraktować funkcję, jakąkolwiek jak wektor ?
\(\displaystyle{ R(t) = \sum_{i = 0}^{r} \binom{r}{i}Q_i(1-t)^{r-i}t^i}\)
gdzie \(\displaystyle{ S_i}\) są dane, więc jak wyglądają wtedy te wektory dla \(\displaystyle{ P(t) - R(t)}\) ? Tzn. jak w ogóle potraktować funkcję, jakąkolwiek jak wektor ?
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 1 raz
Wektorowa norma euklidesowa
Zarówno \(\displaystyle{ S_i}\) jak i szukane \(\displaystyle{ Q_i}\) to punkty w 2-wymiarowym układzie współrzędnych, bo \(\displaystyle{ P(t)}\) oraz \(\displaystyle{ R(t)}\) to krzywe Beziera.
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Wektorowa norma euklidesowa
W takim razie \(\displaystyle{ P(t)}\) jest również punktem i analogicznie \(\displaystyle{ R(t)}\).
Pierwsza współrzędna \(\displaystyle{ P(t)}\) to:
\(\displaystyle{ p_1(t)=\sum_{i=0}^n\binom nis_{i1}(1-t)^{n-i}t^i}\)
druga
\(\displaystyle{ p_2(t)=\sum_{i=0}^n\binom nis_{i2}(1-t)^{n-i}t^i}\)
gdzie \(\displaystyle{ S_i=(s_{i1},s_{i2})}\).
Analogincznie \(\displaystyle{ Q(t)=(q_1(t),q_2(t))}\).
W końcu:
\(\displaystyle{ \|P(t)-Q(t)\|^2=(p_1(t)-q_1(t))^2+(p_2(t)+q_2(t))^2}\).
Pierwsza współrzędna \(\displaystyle{ P(t)}\) to:
\(\displaystyle{ p_1(t)=\sum_{i=0}^n\binom nis_{i1}(1-t)^{n-i}t^i}\)
druga
\(\displaystyle{ p_2(t)=\sum_{i=0}^n\binom nis_{i2}(1-t)^{n-i}t^i}\)
gdzie \(\displaystyle{ S_i=(s_{i1},s_{i2})}\).
Analogincznie \(\displaystyle{ Q(t)=(q_1(t),q_2(t))}\).
W końcu:
\(\displaystyle{ \|P(t)-Q(t)\|^2=(p_1(t)-q_1(t))^2+(p_2(t)+q_2(t))^2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 1 raz
Wektorowa norma euklidesowa
Ahhh już wiem o co chodzi. Dzięki.
Zdaje się, że powinno być:
\(\displaystyle{ (p_1(t)-q_1(t))^2+(p_2(t)-q_2(t))^2}\)
prawda ?
Zdaje się, że powinno być:
\(\displaystyle{ (p_1(t)-q_1(t))^2+(p_2(t)-q_2(t))^2}\)
prawda ?