Wektorowa norma euklidesowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Wektorowa norma euklidesowa

Post autor: MisterWolf »

Mam następujący problem. Muszę zminimalizować wyrażenie, zależne od zmiennych \(\displaystyle{ Q_0,..., Q_m}\) (muszę umieć dobrać te wartości), w tym celu jednak muszę najpierw umieć obliczyć kwadrat poniższej wektorowej normy euklidesowej (która jest jakimś iloczynem skalarnym) pod całką. Wyrażenie \(\displaystyle{ R(t)}\) zawiera te zmienne oraz jest też zależne od pewnego \(\displaystyle{ t}\). Jak w tej sytuacji jest zdefiniowany iloczyn skalarny ?
\(\displaystyle{ E(Q_0,..., Q_m) = \int_{t0}^{t1} ||P(t) - R(t)||^2 \mbox{d}t}\)
Z góry dzięki za pomoc.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Wektorowa norma euklidesowa

Post autor: xiikzodz »

Jeśli \(\displaystyle{ P,R}\) są funkcjami o wartościach w przestrzeni euklidesowej, czyli \(\displaystyle{ P(t), Q(t)}\) to wektory w tej przestrzeni, wówczas \(\displaystyle{ \|P(t)-R(t)\|^2=\langle P (t)-Q(t),P(t)-Q(t)\rangle}\), gdzie \(\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle}\) jest zwykłym iloczynem skalarnym w tej przestrzeni euklidesowej.
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Wektorowa norma euklidesowa

Post autor: MisterWolf »

\(\displaystyle{ P(t) = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i}S_i(1-t)^{n-i}t^i}\)
\(\displaystyle{ R(t) = \sum_{i = 0}^{r} \binom{r}{i}Q_i(1-t)^{r-i}t^i}\)
gdzie \(\displaystyle{ S_i}\) są dane, więc jak wyglądają wtedy te wektory dla \(\displaystyle{ P(t) - R(t)}\) ? Tzn. jak w ogóle potraktować funkcję, jakąkolwiek jak wektor ?
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Wektorowa norma euklidesowa

Post autor: xiikzodz »

A czym są \(\displaystyle{ S_i}\)?
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Wektorowa norma euklidesowa

Post autor: MisterWolf »

Zarówno \(\displaystyle{ S_i}\) jak i szukane \(\displaystyle{ Q_i}\) to punkty w 2-wymiarowym układzie współrzędnych, bo \(\displaystyle{ P(t)}\) oraz \(\displaystyle{ R(t)}\) to krzywe Beziera.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Wektorowa norma euklidesowa

Post autor: xiikzodz »

W takim razie \(\displaystyle{ P(t)}\) jest również punktem i analogicznie \(\displaystyle{ R(t)}\).

Pierwsza współrzędna \(\displaystyle{ P(t)}\) to:

\(\displaystyle{ p_1(t)=\sum_{i=0}^n\binom nis_{i1}(1-t)^{n-i}t^i}\)

druga

\(\displaystyle{ p_2(t)=\sum_{i=0}^n\binom nis_{i2}(1-t)^{n-i}t^i}\)

gdzie \(\displaystyle{ S_i=(s_{i1},s_{i2})}\).

Analogincznie \(\displaystyle{ Q(t)=(q_1(t),q_2(t))}\).

W końcu:

\(\displaystyle{ \|P(t)-Q(t)\|^2=(p_1(t)-q_1(t))^2+(p_2(t)+q_2(t))^2}\).
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Wektorowa norma euklidesowa

Post autor: MisterWolf »

Ahhh już wiem o co chodzi. Dzięki.
Zdaje się, że powinno być:
\(\displaystyle{ (p_1(t)-q_1(t))^2+(p_2(t)-q_2(t))^2}\)
prawda ?
ODPOWIEDZ