Układ równań
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 16 wrz 2011, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Układ równań
Witam,
mam problem z jednym układem równań...
\(\displaystyle{ \begin{cases}-2x+3y+4z=0 \\ x-3y+z =0\\x+2y-9z =0\end{cases}}\)
wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\), ale nie wiem co dalej zrobić żeby to rozwiązać.
Metodą Gaussa? mógłby ktoś pokierować?
mam problem z jednym układem równań...
\(\displaystyle{ \begin{cases}-2x+3y+4z=0 \\ x-3y+z =0\\x+2y-9z =0\end{cases}}\)
wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\), ale nie wiem co dalej zrobić żeby to rozwiązać.
Metodą Gaussa? mógłby ktoś pokierować?
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2011, o 07:53 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Układ równań
Skoro wyznacznik główny układu jest zerowy, to eliminacja Gaussa nie pomoże.
Zauważ, że\(\displaystyle{ R1=-\frac{3}{5}R3-\frac{7}{5}R2}\)
Gdzie \(\displaystyle{ Rx}\) oznacza równanie o numerze \(\displaystyle{ x}\).
Metoda to ustalenie, że jedna ze zmiennych jest chwilowo ustalona, i wyznaczeniu rozwiązania w zależności od tej zmiennej.
Zauważ, że\(\displaystyle{ R1=-\frac{3}{5}R3-\frac{7}{5}R2}\)
Gdzie \(\displaystyle{ Rx}\) oznacza równanie o numerze \(\displaystyle{ x}\).
Metoda to ustalenie, że jedna ze zmiennych jest chwilowo ustalona, i wyznaczeniu rozwiązania w zależności od tej zmiennej.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Układ równań
Możesz rozwiązać to np ustalając z.
A ponieważ równania są zależne od siebie, spójrz na drugie i trzecie.
Odejmując trzecie od drugiego, dostaniesz
\(\displaystyle{ 5y-10z=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ y=2z}\)
a więc
\(\displaystyle{ x=5z}\)
Teraz z jest dowolne. Szczegóły uzupełnisz bez problemu
A ponieważ równania są zależne od siebie, spójrz na drugie i trzecie.
Odejmując trzecie od drugiego, dostaniesz
\(\displaystyle{ 5y-10z=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ y=2z}\)
a więc
\(\displaystyle{ x=5z}\)
Teraz z jest dowolne. Szczegóły uzupełnisz bez problemu
- Iron_Slax
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 27 sie 2011, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Układ równań
Tutaj zrobione z twierdzenia Kroneckera-Capellego:
Wyznacznik macierzy 3x3=0 Więc szukamy jakiejś nie zerowej macierzy 2x2:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-2&3\\1&-3\end{array}\right]}\)
Wyznacznik wynosi 3.
I teraz robimy takie równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+3y=-4z\\x-3y=-z\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ |A_x|=\begin{vmatrix} -4z&3\\-z&-3\end{vmatrix}=15z\\x=\frac{15z}{3}=5z\\
|A_y|=\begin{vmatrix} -2&1\\-4z&-z\end{vmatrix}\\y=\frac{6z}{3}=2z\\z\in R}\)
Wyznacznik macierzy 3x3=0 Więc szukamy jakiejś nie zerowej macierzy 2x2:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-2&3\\1&-3\end{array}\right]}\)
Wyznacznik wynosi 3.
I teraz robimy takie równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+3y=-4z\\x-3y=-z\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ |A_x|=\begin{vmatrix} -4z&3\\-z&-3\end{vmatrix}=15z\\x=\frac{15z}{3}=5z\\
|A_y|=\begin{vmatrix} -2&1\\-4z&-z\end{vmatrix}\\y=\frac{6z}{3}=2z\\z\in R}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Układ równań
Nie widzę, czemu eliminacja Gaussa miałaby nie rozwiązać problemuyorgin pisze:Skoro wyznacznik główny układu jest zerowy, to eliminacja Gaussa nie pomoże.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Układ równań
Zrobiłem metodą Gaussa i po pierwszym kroku dostaję macierz
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \\ 0 &\frac{7}{2} & -7 \end{array} \right]}\)
czyli drugi i trzeci wiersz są liniowo zależne. Eliminacja spowoduje więc wyzerowanie któregoś z tych wierszy. Jak więc chcesz dalej to liczyć?
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \\ 0 &\frac{7}{2} & -7 \end{array} \right]}\)
czyli drugi i trzeci wiersz są liniowo zależne. Eliminacja spowoduje więc wyzerowanie któregoś z tych wierszy. Jak więc chcesz dalej to liczyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Układ równań
No, to jak się wyzeruje jeden, to go wykreślam i liczę dalej, dokładnie to tak:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \\ 0 &0 & 0 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & -3& 6 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1& -2 \end{array} \right]}\)
Przy zmiennej \(\displaystyle{ z}\) nie ma współczynnika wiodącego, więc jest to parametr, powiedzmy \(\displaystyle{ t}\).
I z macierzy odczytujemy w takim razie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t\\ y=2t\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \\ 0 &0 & 0 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & -3& 6 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1& -2 \end{array} \right]}\)
Przy zmiennej \(\displaystyle{ z}\) nie ma współczynnika wiodącego, więc jest to parametr, powiedzmy \(\displaystyle{ t}\).
I z macierzy odczytujemy w takim razie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t\\ y=2t\end{cases}}\)