Układ równań

[sw81]

Witam,
mam problem z jednym układem równań...
\(\displaystyle{ \begin{cases}-2x+3y+4z=0 \\ x-3y+z =0\\x+2y-9z =0\end{cases}}\)

wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\), ale nie wiem co dalej zrobić żeby to rozwiązać.
Metodą Gaussa? mógłby ktoś pokierować?

[bartek118]

Eliminacja Gaussa - zapisz w postaci macierzy rozszerzonej i przeprowadź eliminację

[yorgin]

Skoro wyznacznik główny układu jest zerowy, to eliminacja Gaussa nie pomoże.

Zauważ, że\(\displaystyle{ R1=-\frac{3}{5}R3-\frac{7}{5}R2}\)

Gdzie \(\displaystyle{ Rx}\) oznacza równanie o numerze \(\displaystyle{ x}\).

Metoda to ustalenie, że jedna ze zmiennych jest chwilowo ustalona, i wyznaczeniu rozwiązania w zależności od tej zmiennej.

[sw81]

A mógłbyś rozwiązać to równanie? lub bardziej pokierować?

[yorgin]

Możesz rozwiązać to np ustalając z.

A ponieważ równania są zależne od siebie, spójrz na drugie i trzecie.

Odejmując trzecie od drugiego, dostaniesz

\(\displaystyle{ 5y-10z=0}\)

skąd

\(\displaystyle{ y=2z}\)

a więc

\(\displaystyle{ x=5z}\)

Teraz z jest dowolne. Szczegóły uzupełnisz bez problemu

[Iron_Slax]

Tutaj zrobione z twierdzenia Kroneckera-Capellego:

Wyznacznik macierzy 3x3=0 Więc szukamy jakiejś nie zerowej macierzy 2x2:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-2&3\\1&-3\end{array}\right]}\)
Wyznacznik wynosi 3.

I teraz robimy takie równanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+3y=-4z\\x-3y=-z\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ |A_x|=\begin{vmatrix} -4z&3\\-z&-3\end{vmatrix}=15z\\x=\frac{15z}{3}=5z\\
|A_y|=\begin{vmatrix} -2&1\\-4z&-z\end{vmatrix}\\y=\frac{6z}{3}=2z\\z\in R}\)

[bartek118]

Skoro wyznacznik główny układu jest zerowy, to eliminacja Gaussa nie pomoże.

Nie widzę, czemu eliminacja Gaussa miałaby nie rozwiązać problemu

[yorgin]

Zrobiłem metodą Gaussa i po pierwszym kroku dostaję macierz

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \\ 0 &\frac{7}{2} & -7 \end{array} \right]}\)

czyli drugi i trzeci wiersz są liniowo zależne. Eliminacja spowoduje więc wyzerowanie któregoś z tych wierszy. Jak więc chcesz dalej to liczyć?

[bartek118]

No, to jak się wyzeruje jeden, to go wykreślam i liczę dalej, dokładnie to tak:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \\ 0 &0 & 0 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & -\frac{3}{2}& 3 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & -3& 6 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1& -2 \end{array} \right]}\)

Przy zmiennej \(\displaystyle{ z}\) nie ma współczynnika wiodącego, więc jest to parametr, powiedzmy \(\displaystyle{ t}\).

I z macierzy odczytujemy w takim razie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t\\ y=2t\end{cases}}\)

[yorgin]

Super, nie znałem Gaussa od tej strony