Przestrzenie kolumnowe.

[dog_1]

Mam cztery zadania w którym jednym raczej wiem jak wykonać ale za reszty nie wiem jak się w ogóle za nie zabrać.
1.Sprawdzić,czy wektor \(\displaystyle{ x=(1,2,1)}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ x_{1}=(1,1,1); x_{2}=(1,1,2); x_{3}=(0,1,1)}\)
Tutak mam rozwiązać układ równań? Czy może jest prostszy sposób?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}=1 \end{cases}}\)
2.Zabadać liniową niezależność układu wektorów\(\displaystyle{ (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4})}\) gdy \(\displaystyle{ v_{1}=(2,0,3,1), v_{2}=(4,1,3,2), v_{3}=(1,3,-1,3), v_{4}=(7,7,9,11)}\)
3.Wyznaczyć bazę przestrzeni kolumnowej,bazę przestrzeni wierszowej i bazę przestrzeni zerowej macierzy
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&3&3&0\\-1&0&-2&-1&1\\2&3&7&8&1\\-2&4&0&6&7\end{bmatrix}}\)
4. Metodą Grama-Schmidta z danej bazy utworzyć bazę ortogonalną w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}}\)(ze standardowym iloczynem skalarnym)
\(\displaystyle{ \left( \begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right)}\)

[tometomek91]

1. Tak, tylko inaczej nazwij zmienne w tym układzie, bo iksy z tymi indeksami są już zarezerwowane na wektory. Wtedy, jeżeli nie jest sprzeczny, to jest kombinacją. Tutaj na oko widać, że \(\displaystyle{ x=2x_1+x_3-x_2}\) czyli układ nie jest sprzeczny.
2. Wektory są liniowo niezależne, gdy wyznacznik macierzy z nich utworzonej jest niezerowy.
3. Najpierw rząd tej macierzy, wtedy dowiemy sie ile wierszy/kolumn jest liniowo niezależnych i można szukać bazy.
4. Tutaj są wzory ... a-Schmidta

[dog_1]

2 pierwsze to już rozumiem o co chodzi. Ale niestety dwóch następnych nie rozumiem dalej.

[tometomek91]

4. \(\displaystyle{ \{v_1,v_2,v_3 \}}\) - szukana baza. Liczymy
\(\displaystyle{ v_1=(1,1,1)\\
v_2=(1,0,-1)- \frac{ (1,1,1) \circ (1,0,-1)}{ \left| \left| v_1 \right| \right| ^2} (1,1,1)=(1,0,-1)-0=(1,1,1)\\
v_3=(1,1,0)-\frac{(1,1,0) \circ (1,1,1)}{3}(1,1,1)-\frac{ (1,1,0) \circ (1,1,1)}{3}(1,1,1)=...}\)

3. Sprowadź macierz do postaci schodkowej.

[dog_1]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&3&3&0\\-1&0&-2&-1&1\\2&3&7&8&1\\-2&4&0&6&7\end{bmatrix}\\
W _{2}= W _{2} +W _{1}\\
W _{3}= W _{3} +W _{1}\cdot (-2)\\
W _{4}= W _{4} +W _{1}\cdot (2)\\
\begin{bmatrix} 1&1&3&3&0\\0&1&1&2&1\\0&1&1&2&1\\0&6&6&12&7\end{bmatrix}\\}\)
Dwie te same więc mamy po redukcji
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&3&3&0\\0&1&1&2&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}\\}\)
Coś mi mówi że można zakończyć i wypisać te wektory. Ale co właśnie obliczyłem? Obliczyłem rząd macierzy?

[tometomek91]

Coś mi mówi że można zakończyć i wypisać te wektory.

Tak, to są wektory tworzące bazę przestrzeni wierszowej.

Ale co właśnie obliczyłem? Obliczyłem rząd macierzy?

Tak. Rząd tej macierzy to 3, więc w bazie przestrzeni wierszowej też będą trzy wektory, np. te trzy, które mają na różnych współrzędnych zera.

[dog_1]

Baza przestrzeni zerowej to \(\displaystyle{ [A|0]}\) a jak mam obliczyć bazę przestrzeni kolumnowej?

A tam wyżej \(\displaystyle{ ||v _{1} || ^{2} = 1}\)?

[tometomek91]

Baza przestrzeni zerowej to \(\displaystyle{ [A|0]}\) a jak mam obliczyć bazę przestrzeni kolumnowej?

Już łatwo to zrobić, wiemy, że mają tam być trzy wektory, więc wystarczy wybrać trzy liniowo niezależne kolumny.

No i \(\displaystyle{ ||v _{1} || ^{2} = \left( \sqrt{1^2+1^2+1^2} \right)^2=3}\), więc tam, w poprzednim moim poście nie powinno być pierwiastków nad trójkami, już edytuję.

[dog_1]

Proszę o jeszcze jedno spojrzenie do 4 przykładu i stwierdzenie czy naprawdę jest dobrze?
\(\displaystyle{ v_2=(1,0,-1)- \frac{ (1,1,1) \circ (1,0,-1)}{ \left| \left| v_1 \right| \right| ^2} (1,1,1)=(1,0,-1)-0=(1,1,1)\\v_3=(1,1,0)-\frac{(1,1,1) \circ (1,1,0)}{3}(1,1,1)-\frac{ (1,1,0) \circ (1,1,1)}{3}(1,1,1)=...}\)
Dlaczego wektor - 0 równa się \(\displaystyle{ (1,1,1)}\)

[tometomek91]

yy. źle się wkleiło ;p oczywiście ta różnica równa jest \(\displaystyle{ (1,0,-1)}\) ale to sięłatwo już liczy.