Znaleźć jakąś bazę dla Im(f) oraz Ker(f)

[lubieplacki2]

Sprawdzić, czy odwzorowanie \(\displaystyle{ \partial : f \in R_{2}[x]: f \rightarrow \partial (f) \in R _{4}}\) zdefiniowane przez: \(\displaystyle{ \partial (f)=(2f(1)-f(2),f(0),f(1)+f(-1),f(2)+2f(-1))}\) jest liniowe. Jeśli jest, znaleźć jakąś bazę dla Im\(\displaystyle{ \partial}\) oraz jakąś bazę dla Ker\(\displaystyle{ \partial}\).
Czy jest liniowe sprawdziłam ale nie umiem poradzić sobie z tymi bazami, proszę o pomoc.

[mol_ksiazkowy]

Jeśli jest, znaleźć jakąś bazę dla Im\(\displaystyle{ \partial}\) oraz jakąś bazę dla Ker\(\displaystyle{ \partial}\).
Czy jest liniowe sprawdziłam ale nie umiem poradzić sobie z tymi bazami, proszę o pomoc.

Zobacz sobie jak wyglada jądro, bedzie wymiaru \(\displaystyle{ 1}\), jego baza bedzie \(\displaystyle{ \{f(x)=x \}}\)
a potem wymiar obrazu i jego baza. a to bedzie łątwe.

Bo odwzrowanie to dziala z \(\displaystyle{ V}\) do \(\displaystyle{ W}\),
gdzie wymiar \(\displaystyle{ V}\)wynosi \(\displaystyle{ 3}\), zas \(\displaystyle{ W}\) równy jest \(\displaystyle{ 4}\)

[Ryland]

Mógłby ktoś jakoś jaśniej te bazy rozpisać ? Nie mam pojęcia jak się to robi ...

[mol_ksiazkowy]

Mógłby ktoś jakoś jaśniej te bazy rozpisać ? Nie mam pojęcia jak się to robi ...

Mamy \(\displaystyle{ f \in R_2[x]}\), tj \(\displaystyle{ f(x)=a+bx+cx^2}\). Jak wyglada jadro: W jądrze sa te f:
\(\displaystyle{ \partial (f)=(2f(1)-f(2),f(0),f(1)+f(-1),f(2)+2f(-1))=(0,0,0,0)}\)
tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2f(1)-f(2)=0\\f(0)=0\\f(1)+f(-1)=0\\f(2)+2f(-1)=0\end{cases}}\)
co daje \(\displaystyle{ a=c=0}\) (b dowolne), tj \(\displaystyle{ f(x)=bx}\)
czyli jadro ma wymiar 1

A jak rozpisać to z obrazem ?

po prostu podstaw do wzoru za f

[Ryland]

A jak rozpisać to z obrazem ?