Metodą Gaussa rorwiązać równanie.

[dog_1]

Metodą Gaussa rozwiązać układ równań (zapiszę go już w macierzy)
Mam problem z rozwiązaniem, ponieważ nie mogę się przejść do postaci schodkowej ;|
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 2&-2&-5&0&-13 \\ 3&0&1&1&13\\ 4&-2&-3&1&1 \end{array}\right]}\)
Problem wynika z tego że nie potrafię szybko zauważyć pewnych rzeczy:| Najdziwniejsze to to że jak to robię za każdym razem wychodzą mi inne liczby w macierzy ale nigdy nie dochodzę do końca ( nie znajdę wyniku)

[bartek118]

No to po kolei - przy pomocy jedynki na pozycji (1,1) wyzeruj pierwszą kolumnę macierzy

[aalmond]

Podejdź do tego metodycznie. Najpierw zeruj pierwszą kolumnę, potem drugą itd.
I tak pierwsza kolumna:
Pomnóż pierwszy wiersz przez dwa i odejmij od drugiego
Pomnóż pierwszy wiersz przez trzy i odejmij od trzeciego
Pomnóż pierwszy wiersz przez cztery i odejmij od czwartego
Po tych operacjach w pierwszej kolumnie, w wierszach: drugim, trzecim i czwartym powinny być zera.
Podobnie druga i trzecia kolumna.

[dog_1]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&4&7&0&25 \\ 0&3&2&-1&5\\ 0&6&7&-1&23 \end{array}\right]}\) Można odjąć od 4 wiersza 2 wiersz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&4&7&0&25 \\ 0&3&2&-1&5\\ 0&-2&0&1&2 \end{array}\right]}\)
Ale co teraz.

[alfgordon]

zamiana 4 wiersz z 2 wierszem,
i wyzeruj w drugiej kolumnie wiersz trzeci i czwarty

[anetaaneta1]

ale skąd ci się wzięło w 2 kolumnie 1 4 3 6 mi wyszło 1 -4 -1 -6
pomnożyłam pierwszy wers przez -2 i dodałam do 2
pomnożyłam pierwszy wers przez -3 i dodałam do 3
pomnożyłam pierwszy wers przez -4 i dodałam do 4
i otrzymałam zeta w pierwszej kolumnie na miejscach 2 3 4

[dog_1]

Spróbowałem zrobić sposobem aalmond-a.
Robiąc twoim sposobem wyszło mi
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&-4&-7&0&-25 \\ 0&-3&-2&1&-5\\ 0&-6&-7&1&-23 \end{array}\right]}\)
Nie wiem dlaczego wg. Ciebie -3 + 0 = -1
Kontynuując można teraz do 3 wiersza dodać 4 wiersz *-1 potem do 4 wiersza dodać 2 wiersz *-1
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&-4&-7&0&-25 \\ 0&3&5&0&18\\ 0&-2&0&1&2 \end{array}\right]}\)

[aalmond]

Po tych operacji, które Ci podałem powinieneś otrzymać taką postać:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&-4&-7&0&-25 \\ 0&-3&-2&1&-5\\ 0&-6&-7&1&-23 \end{array}\right]}\)

Ale różnica jest tylko w znakach.
Teraz zerujesz drugą kolumnę:
\(\displaystyle{ W _{4} = W_{4} + (-2) \cdot W _{3} \\
W_ {3} = 4 \cdot W _{3} +(-3) \cdot W _{2}}\)

[dog_1]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&-4&-7&0&-25 \\ 0&0&13&4&55\\ 0&0&-3&-1&-13 \end{array}\right]}\)

Teraz
\(\displaystyle{ W _{3} = W_{3} + 4 \cdot W _{4} \\
\left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&-4&-7&0&-25 \\ 0&0&1&0&3\\ 0&0&-3&-1&-13 \end{array}\right]\\
W_ {4} =W _{4} +(3) \cdot W _{3}\\
\left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&1&0&6 \\ 0&-4&-7&0&-25 \\ 0&0&1&0&3\\ 0&0&0&-1&-4 \end{array}\right]\\
W_ {2} =W _{2} +(7) \cdot W _{3}\\
W_ {1} =W _{1} +(-1) \cdot W _{3}\\
W_ {4} =W _{4} \cdot (-1)\\
\left[\begin{array}{cccc|c} 1&1&0&0&3 \\ 0&-4&0&0&-4 \\ 0&0&1&0&3\\ 0&0&0&1&4 \end{array}\right]\\
W_ {2} =W _{2} \cdot \frac{-1}{4} \\
W_ {1} =W _{1} + (-1) \cdot W _{2} \\
\left[\begin{array}{cccc|c} 1&0&0&0&2 \\ 0&1&0&0&1 \\ 0&0&1&0&3\\ 0&0&0&1&4 \end{array}\right]\\}\)
Nie wiedziałem że można mnożyć wiersz przez samego siebie :]
Czy mnożenie \(\displaystyle{ W_ {2} =W _{2} \cdot 2}\)
mogę wykorzystać np, przy wyznaczaniu wyznaczaniu \(\displaystyle{ A^{-1}}\) Albo gdy wyznaczam nieznaną macierz Ax=B tworzę [A|b] wychodzi mi coś takiego\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|cccc} -1&0&0&6&7&-4&3 \\ 0&-1&0&4&12&3&-2 \\ 0&0&-1&4&2&-6&-5\end{array}\right]\\}\) Mogę pomnożyć wszystkie wersy przez -1?
Dzięki za pomoc, chodź jakieś zadanie mam dobrze wykonane:) Teraz muszę ćwiczyć, bo strasznie długo mi idzie to obliczanie.
A jeszcze coś, kiedy będę wiedział że tego równania nie da się wykonać ? Pamiętam coś o jakiejś jedynce (?)

[aalmond]

Pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą zmienia wartość wyznacznika. W tym zadaniu działaliśmy na macierzy rozszerzonej, więc to nie miało znaczenia.