witam
mam problem z takim zadaniem
Wyznaczyć wartości własne przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L: R^{3} \rightarrow R ^{3}}\) danego wzorem \(\displaystyle{ L(x,y,z)=(2x-y+z , x+y+z , y+z)}\) oraz określić krotność algebraiczną i geometryczną najmniejszej spośród wartości własnych.
Jak w ogóle zabrać się za takie zadanie? Na wykładzie zaczęliśmy coś mówić o wartościach własnych, jednak na ćwiczeniach nie zdążyliśmy tego przerobić.
Bardzo zależy mi, żeby ktoś mi to wytłumaczył.
wartości własne
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
wartości własne
Najpierw wyznaczenie wartości własnych:
Przekształcenie to jest dane macierzą:
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}}\)
wartości własne to pierwiastki wielomianu:
\(\displaystyle{ \chi(x)=\det\begin{pmatrix}2-x&-1&1\\1&1-x&1\\0&1&1-x\end{pmatrix}=(x-1)^2(x-2)}\).
Ten wielomian ma jeden pierwiastek jednokrotny \(\displaystyle{ x=2}\) i jeden dwukrotny \(\displaystyle{ x=1}\), co załatwia krotność algebraiczną.
Zgaduję, że krotność geometryczna to wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej danej wartości własnej. Dla wartości własnej \(\displaystyle{ x=2}\) ten wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo zawsze jest przynajmniej jeden wektor własny, a krotność geometryczna nie może przekroczyć algebraicznej.
Dla wartości własnej \(\displaystyle{ x=2}\) krotność geometryczna wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo istnieje tylko jednowymiarowa podprzestrzeń własna odpowiadająca tej wartości własnej (otrzymujemy ją rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (A-2I)X=0}\)). Jest ona rozpięta na wektorze
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\)
Przekształcenie to jest dane macierzą:
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}}\)
wartości własne to pierwiastki wielomianu:
\(\displaystyle{ \chi(x)=\det\begin{pmatrix}2-x&-1&1\\1&1-x&1\\0&1&1-x\end{pmatrix}=(x-1)^2(x-2)}\).
Ten wielomian ma jeden pierwiastek jednokrotny \(\displaystyle{ x=2}\) i jeden dwukrotny \(\displaystyle{ x=1}\), co załatwia krotność algebraiczną.
Zgaduję, że krotność geometryczna to wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej danej wartości własnej. Dla wartości własnej \(\displaystyle{ x=2}\) ten wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo zawsze jest przynajmniej jeden wektor własny, a krotność geometryczna nie może przekroczyć algebraicznej.
Dla wartości własnej \(\displaystyle{ x=2}\) krotność geometryczna wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo istnieje tylko jednowymiarowa podprzestrzeń własna odpowiadająca tej wartości własnej (otrzymujemy ją rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (A-2I)X=0}\)). Jest ona rozpięta na wektorze
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\)