Symetryczna macierz o wektorach własnych z płaszczyzny

[aniaaa1990]

Cześć .

Mam zadanie:

Należy wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ 3x3}\) taką, która ma wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ 2x^{2}-x^{3}}\), a każdy wektor z płaszczyzny: \(\displaystyle{ 2x+y+x=0}\) jest jej wektorem własnym.

Myślę tak:
1. Macierz symetryczną możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ PDP^{T}}\).
2. Wiem, że wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

Rozpisuję wielomian charakterystyczny na \(\displaystyle{ x^{2}(2-x) \Rightarrow x_{1}=0=x_{2}, x_{3}=2}\).
Wybieram wektory własne, nieortogonalne dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) a dla \(\displaystyle{ x_{3}}\) wektor do nich prostopadły. Liczę \(\displaystyle{ A}\):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&-1&0\\2&1&1\\2&1&-1\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&2\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} -2&2&2\\-1&1&1\\0&1&-1\end{bmatrix}}\)

Wychodzi mi macierz:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&2&-2\\0&-2&-2\end{bmatrix}}\)

(obliczenia wykonane w wolframie więc powinny być ok)
Niestety owa macierz nawet wielomianu charakterystycznego nie ma takiego samego, bo ma \(\displaystyle{ 4x^{3}-x^{2}}\).

Gdzie robię błąd?
Ewentualnie czy dobrze się za to zadanie zabrałam? Nie wiem, czy to, że \(\displaystyle{ 3}\) wektory z płaszczyzny są wektorami własnymi implikuje, że wszystkie będą.

[skolukmar]

Źle odwracasz macierz. To co napisałaś jest prawdziwe tylko dla macierzy ortogonalnych.
No i wektory dla wartości własne 0 (płaszczyzna) też powinny być do siebie prostopadłe.

[aniaaa1990]

Jeżeli wektory dla zero mają być prostopadłe i wektor dla dwójki też. To mam trzy prostopadłe wektory, nie ma takich w płaszczyźnie.

[skolukmar]

Nie, chodzi o to że bierzesz 2 wektory prostopadłe z płaszczyzny - to jest dla wartości własnej 0. Potem dla wartości własnej 2 liczysz wektor własny normalnie ze wzorku, albo bierzesz wektor normalny płaszczyzny i go normujesz.

[aniaaa1990]

Jeżeli wezmę dwa wektory prostopadłe to każdy trzeci z płaszczyzny będzie z nimi liniowo zależny? (tak jest w \(\displaystyle{ R^{2}}\) jak wezmę wersory to każdy inny uzyskam z ich kombinacji liniowej).

Biorę więc 2 wektory prostopadłe, np. \(\displaystyle{ (0,1,1),(0,1,-1)}\) oraz wektor normalny \(\displaystyle{ (2,1,1)}\).

Czy normalizuję wektor czy nie, wynik wychodzi ten sam(sprawdziła ale obliczenia żmudne i bym pół godziny je wpisywała):

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2&0&0\\1&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\)

Sprawdziłam dla paru wektorów z płaszczyzny, wszystkie przechodzą na \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).
Czyli spełniają \(\displaystyle{ Av=\lambda v,}\) gdzie \(\displaystyle{ \lambda = 0}\).
Czyli wygląda na to, że działa.

Teraz najważniejsze pytanie - dlaczego to działa, jak to uzasadnić na egzamienie?
Czy to jest jakiś algorytm na to? Bo liczę już trzecie podobne zadanie i każde robi się inaczej.
Nie chcę siąść na egzaminie i pół godziny zastanawiać się nad zadaniem który sposób wybrać .
np. to - niby podobne a robi się inaczej 262062.htm.

[xiikzodz]

Masz błędy w rachunkach - źle ci wektor normalny wyszedł.

Mamy dwa wektory rozpinające płaszczyznę w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\):

\(\displaystyle{ u=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\).

Wektorem normalnym tej płaszczyzny jest na przykład wektor:

\(\displaystyle{ u\times v=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}\)

po znormalizowaniu (nie ma to żadnego znaczenia poza kosmetycznym)

\(\displaystyle{ w=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\)

Bez rachowania widać zresztą, że wektor \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\) jest normalny do płaszczyzny rozpiętej na \(\displaystyle{ u,v}\).

Punkty tej płaszczyzny są więc prostopadłe do wektora w, czyli spełniają równanie:

\(\displaystyle{ \left\langle w,X\right\rangle=0}\) (iloczyn skalarny)

gdzie \(\displaystyle{ X}\) to wektor niewiadomych \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\).

Mnożenie skalarne (z lewej strony) przez ustalony wektor, tu \(\displaystyle{ w}\), jest przekształceniem liniowym, więc danym pewną macierzą. Tutaj jest to macierz:

\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\),

której kolumnami są wektory:

\(\displaystyle{ \langle w,e_i\rangle}\)

gdzie \(\displaystyle{ e_i}\) to wektory bazowe: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\).

Innymi słowy płaszczyzna rozpięta na \(\displaystyle{ u,v}\) jest jądrem przekształcenia danego macierzą \(\displaystyle{ A}\). Mamy więc dwa, jedynie pozornie różne, sposoby wypisywania płaszczyzn:

1. Z użyciem wektora normalnego i iloczynu skalarnego.
2. Z użyciem macierzy i jej jądra.

[aniaaa1990]

Dziękuję za pomoc .
Wszystko wiem a egzamin zaliczony .