diagonalizacja macierzy

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 11 wrz 2011, o 12:14

Zdiagonalizować macierz

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}7& -8\\ 3&-4 \end{bmatrix}}\)

Z góry dzięki

Rogal · Post autor: **Rogal** » 11 wrz 2011, o 16:44

Może jakieś przemyślenia, sugestie, pytania do nas?
Bo zadanie jest trywialnie schematyczne.

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 11 wrz 2011, o 17:44

nie wiem w ogóle od czego zacząć bo nie za bardzo rozumiem to co to znaczy zdiagonalizować macierz

Rogal · Post autor: **Rogal** » 12 wrz 2011, o 11:18

Google Twoim przyjacielem.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 12 wrz 2011, o 11:48

Najpierw krótka odpowiedź. Wyznaczamy wartości własne, są to 4,-1, czyli dwie różne, więc wiadomo, że macierz jest diagonalizowalna do postaci \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}4&0\\0&-1\end{pmatrix}}\) i koniec.

Warto czasem zrozumieć, co się wydarzyło, dlatego:

Macierz jest diagonalna w bazie wektorów własnych, o ile taka baza istnieje. Wystarczy więc wykonać kilka kroków:

1. Wyznaczyć wartości własne, wychodzi: \(\displaystyle{ 4,-1}\)
2. Wyznaczyć odpowiadające im wektory własne, na przykład: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\)
3. Zmontować z wektorów własnych macierz przejścia: \(\displaystyle{ T=\begin{pmatrix}8&1\\3&1\end{pmatrix}}\)
4. Odpowiedzią jest wówczas macierz: \(\displaystyle{ T^{-1}AT}\), czyli macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}4&0\\0&-1\end{pmatrix}}\).