Przekształcenie, jądro, obraz

[aniaaa1990]

Cześć .

Mam zadanie: Podać przykład przekształcenia \(\displaystyle{ F:R^{2} \to R^{2}}\) którego obrazem jest prosta o równaniu \(\displaystyle{ 2x-3y=0}\) a jądrem prosta \(\displaystyle{ {(3t,2t):t \in R}}\).

Myślę tak:

Nazwę przekształcenie \(\displaystyle{ A: U \to V}\).
Wiem, że \(\displaystyle{ KerA \in U}\) a \(\displaystyle{ ImA \in V}\), czyli wszystko co leży na prostej \(\displaystyle{ (3t,2t)}\) w \(\displaystyle{ U}\) przechodzi na \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ V}\), pozostała część przechodzi na prostą \(\displaystyle{ 2x-3y=0}\) w \(\displaystyle{ V}\). Obraz i jądro są jednowymiarowe bo to proste.

Żeby tak było, to:
1. \(\displaystyle{ A(3,2)=0 (x,y)}\)
Z czego wynika, że jedną wartością własną jest \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ A(i,j)=\lambda (3,2)}\)
To jest warunek na obraz.
A ze wzoru \(\displaystyle{ Av=\lambda v}\) zapisałabym:
2. \(\displaystyle{ A(3,2)=\lambda (3,2)}\)
No i teraz chciałam ze wzoru: \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\) policzyć.
Tylko nie wiem skąd wziąć \(\displaystyle{ \lambda}\), żeby zrobić macierz diagonalną (jedną wartością będzie 0), bo macierz przejścia zrobię z wektorów własnych z 1. i 2.
Wie ktoś może coś z tym zrobić?
Siedzę i się już głowię pół godziny .

[xiikzodz]

Wypiszę propozycję rozwiązania:

\(\displaystyle{ A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\)

zatem macierz tego przekształcenia ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}3\alpha&3\beta\\2\alpha&2\beta\end{pmatrix}}\).

Dodatkowo przekształcenie zeruje się na wektorze \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\),

czyli:

\(\displaystyle{ 9\alpha+6\beta=0}\).

skąd np. \(\displaystyle{ \alpha=2, \beta=3}\) i jedno z możliwych szukanych przekrztałceń dane jest macierzą:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}6&-9\\4&-6\end{pmatrix}}\).

Można to nieco sprytniej zapisać, ale w takiej postaci powinno być łatwe do zrozumienia.

[aniaaa1990]

Widzę, że trochę skomplikowałam sobie zadanie

Twoje rozwiązanie wydaje się prostsze no i nie trzeba mnożyć macierzy.
Mam jeszcze pytanie - dobierasz sobie w tym miejscu:
\(\displaystyle{ A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\beta\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\)

Wybrałaś wektory \(\displaystyle{ (1,0), (0,1)}\) bo się dobrze liczy, czy zawsze się tak robi?
Ma to coś wspólnego z bazą standardową i przejściem do nowych współrzędnych?

Pytam bo próbuje sobie dopasować zadania do teorii w książce .

[skolukmar]

Nie chcę Cię zmylić, ale może o to chodziło.
Jeśli:

\(\displaystyle{ A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \ \ \ \ \ \
A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\)

to:

\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\).

[xiikzodz]

Wybrałaś wektory \(\displaystyle{ (1,0), (0,1)}\) bo się dobrze liczy, czy zawsze się tak robi?
Ma to coś wspólnego z bazą standardową i przejściem do nowych współrzędnych?

Pytam bo próbuje sobie dopasować zadania do teorii w książce .

Takie wektory są wygodne, bo ich obrazy to kolumny macierzy. Można wziąć dowolną parę niezależnych wektorów, ale wtedy być może trzeba będzie coś dodatkowo policzyć.

[aniaaa1990]

Super!

Bardzo ułatwi mi to życie .
Dziękuję za pomoc.