Macierz projekcji
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Macierz projekcji
Obrazem \(\displaystyle{ P_W}\) jest \(\displaystyle{ W.}\) O które wektory liniowo niezależne ci chodzi?
Macierz projekcji
\(\displaystyle{ v=\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)}\) i \(\displaystyle{ u=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)}\)
właśnie nie rozumiem dlaczego obrazem \(\displaystyle{ P_W}\) jest \(\displaystyle{ W}\). Jak to sprawdzić?
właśnie nie rozumiem dlaczego obrazem \(\displaystyle{ P_W}\) jest \(\displaystyle{ W}\). Jak to sprawdzić?
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Macierz projekcji
Jeżeli jest napisane sprawdzić to myślę, że najprościej wyznaczyć obraz jak to się robiło przy obrazie macierzy. Jaka wyszła macierz projekcji?
Macierz projekcji
No i właśnie o to pytam jak się sprawdza obraz(i jądro) macierzy?
\(\displaystyle{ P_W=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 &-\frac{1}{2} \\
0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\
0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ P_W=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 &-\frac{1}{2} \\
0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\
0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}}\)
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Macierz projekcji
Obraz:
Chcemy pokazać, że dowolny wektor z obrazu jest kombinacją linową \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ u}\) oraz na odwrót.
Jak sobie powymnażamy to otrzymujemy
\(\displaystyle{ P_W (x)=x_1\frac{1}{2}(1,0,0,-1)+x_2\frac{1}{2}(0,1,-1,0)+x_3\frac{1}{2}(0,-1,1,0)+x_4\frac{1}{2}(-1,0,0,1)=(x_1+x_3)\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)+(x_2-x_4)\frac{1}{2}(1,1,-1,-1), x=(x_1,x_2,x_3,x_4)}\)
czyli obraz jest identyczny z \(\displaystyle{ lin(u,v)}\).
Jądro:
Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ P_W (x)=0.}\)
Chcemy pokazać, że dowolny wektor z obrazu jest kombinacją linową \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ u}\) oraz na odwrót.
Jak sobie powymnażamy to otrzymujemy
\(\displaystyle{ P_W (x)=x_1\frac{1}{2}(1,0,0,-1)+x_2\frac{1}{2}(0,1,-1,0)+x_3\frac{1}{2}(0,-1,1,0)+x_4\frac{1}{2}(-1,0,0,1)=(x_1+x_3)\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)+(x_2-x_4)\frac{1}{2}(1,1,-1,-1), x=(x_1,x_2,x_3,x_4)}\)
czyli obraz jest identyczny z \(\displaystyle{ lin(u,v)}\).
Jądro:
Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ P_W (x)=0.}\)
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Macierz projekcji
Gratis
Stosujemy operacje elementarne na wierszach \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ -IV,\ I+II}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ III+IV}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ II+III}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& 0& 0 & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(I-III)-II}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&0 &0 &0 \\ 0& 0& 0 & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
z ostatniej macierzy mamy, że jądro to rozwiązanie układu
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}x=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \langle v, x\rangle=0, \langle u, x\rangle=0,}\) to co chcieliśmy
Stosujemy operacje elementarne na wierszach \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ -IV,\ I+II}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ III+IV}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ II+III}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &0 \\ 0& 0& 0 & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(I-III)-II}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ 0&0 &0 &0 \\ 0& 0& 0 & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
z ostatniej macierzy mamy, że jądro to rozwiązanie układu
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}x=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \langle v, x\rangle=0, \langle u, x\rangle=0,}\) to co chcieliśmy