Macierz projekcji

[aiwatko]

Witam, mam to rozwiązania takie zadanie:
Wyznaczyć macierz ortogonalnej projekcji na przestrzeń \(\displaystyle{ W\subset \mathbb{R}^3}\) rozpiętą przez wektory \(\displaystyle{ v =(1, 1, 1)}\) i \(\displaystyle{ u = (1,0,-1)}\).
Wektory są ortogonalne, po znormalizowaniu wyglądają tak: \(\displaystyle{ v' = \frac{1}{ \sqrt{3} } (1, 1, 1)}\) i \(\displaystyle{ u' = \frac{1}{ \sqrt{2} }(1,0,-1)}\).
Jak to zapisać macierzowo? Widziałam ten temat, ale nie rozumiem tamtego zapisu.
I jeszcze jak wyznaczyć rozkład wektora \(\displaystyle{ (3,2,1)}\)?

[fon_nojman]

Którego symbolu nie rozumiesz w tamtej odpowiedzi?

[aiwatko]

Macierz kojarzy mi się z nawiasami kwadratowymi, których tam nie ma.. Czy to będzie tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}& 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}}\)? Czy może tak:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}}\) ? Czy może jeszcze inaczej?

[fon_nojman]

Mnożysz przez siebie macierze

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{ \sqrt{3} }\\\frac{1}{ \sqrt{3} }\\\frac{1}{ \sqrt{3} }\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{ \sqrt{3} },\frac{1}{ \sqrt{3} },\frac{1}{ \sqrt{3} }\right]}\)

oraz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \frac{1}{ \sqrt{2} }\\0\\-\frac{1}{ \sqrt{2} }\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{ \sqrt{2} },0,-\frac{1}{ \sqrt{2} }\right].}\)

[aiwatko]

czyli są 2 opcje a nie suma? a jak zrobić rozkład wektora\(\displaystyle{ (3,2,1)}\)?

[fon_nojman]

Nie, teraz sumujesz te dwie macierze co wyszły.

Jak znajdziesz macierz projekcji (\(\displaystyle{ P}\)) to łatwo znajdziesz rozkład \(\displaystyle{ [3,2,1],}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}=\left(\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}-P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}\right)+P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}.}\)

[aiwatko]

:O w życiu bym się nie domyśliła że to tak trzeba zrobić, dziękuję.
po znalezieniu tej macierzy i zrobieniu rozkładu wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\)
Co to oznacza?


i jeszcze jedno zadanie:
Sprawdzić, że podane wektory tworzą układy ortogonalne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). Unormować wektory układu i
wyznaczyć rozkład wektora \(\displaystyle{ v = (1, 1, 1, 1)}\) w otrzymanym w ten sposób układzie ortonormalnym.
\(\displaystyle{ u=(1, 1, 0, 0)}\), \(\displaystyle{ w=(1, −1, 0, 2)}\), \(\displaystyle{ x=(−1, 1, −3, 1)}\),\(\displaystyle{ y=(−1, 1, 1, 1)}\)
Czy to zadanie trzeba zrobić analogicznie do poprzedniego, czy można zrobić taką kombinację liniową(po unormowaniu):
\(\displaystyle{ au+bw+cx+dy=v}\)?

[fon_nojman]

:O w życiu bym się nie domyśliła że to tak trzeba zrobić, dziękuję.

Domyślam się, że o taki rozkład chodzi czyli \(\displaystyle{ (3,2,1)=a+b, a\in W, b\in W^{\perp},}\) jest on adekwatny do treści zadania. O jaki właściwie rozkład chodzi? Uściślij.

po znalezieniu tej macierzy i zrobieniu rozkładu wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\)
Co to oznacza?

Oznacza to , że jest ok. Oblicz tylko \(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}-P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}\right)}\), \(\displaystyle{ P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\) i wstaw to do równości z mojego poprzedniego postu.

i jeszcze jedno zadanie:
Sprawdzić, że podane wektory tworzą układy ortogonalne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). Unormować wektory układu i
wyznaczyć rozkład wektora \(\displaystyle{ v = (1, 1, 1, 1)}\) w otrzymanym w ten sposób układzie ortonormalnym.
\(\displaystyle{ u=(1, 1, 0, 0)}\), \(\displaystyle{ w=(1, −1, 0, 2)}\), \(\displaystyle{ x=(−1, 1, −3, 1)}\),\(\displaystyle{ y=(−1, 1, 1, 1)}\)
Czy to zadanie trzeba zrobić analogicznie do poprzedniego, czy można zrobić taką kombinację liniową (po unormowaniu):
\(\displaystyle{ au+bw+cx+dy=v}\)?

Zrób kombinacje linową.

[aiwatko]

O jaki właściwie rozkład chodzi? Uściślij.

o właśnie taki dziękuję

Oznacza to , że jest ok. Oblicz tylko \(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}-P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}\right)}\), \(\displaystyle{ P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\) i wstaw to do równości z mojego poprzedniego postu.

no i wyszło mi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}=0+\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\)

Zrób kombinacje linową.

Dziękuję.
A jakby trzeba było zrobić taki rozkład wektora jak na początku dla 4 wektorów to dałoby radę?:>

[fon_nojman]

no i wyszło mi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}=0+\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\)

Nie dodawaj tego. Ile wyszło \(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}-P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}\right)}\) i \(\displaystyle{ P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\)?

A jakby trzeba było zrobić taki rozkład wektora jak na początku dla 4 wektorów to dałoby radę?:>

Nie ponieważ to inny typ zadania, w poprzednim była podprzestrzeń tutaj jej nie ma.

[aiwatko]

\(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}-P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}
0\\ 0
\\ 0

\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ P\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\2\\1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}
\frac{5}{6} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{6}\\
\frac{1}{3}&\frac{1}{3} &\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{6}& \frac{1}{3} & \frac{5}{6}
\end{bmatrix}}\) Aha... Chyba chodzi o to, że wektory zerowy i \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
3\\ 2
\\ 1

\end{bmatrix}}\) są względem siebie ortogonalne, czyli to jest rozkład na ortogonalne składniki?
Jeszcze przy okazji jak sprawdzić, że \(\displaystyle{ RgP_{W}=W}\) (gdzie \(\displaystyle{ Rg}\) to obraz) i \(\displaystyle{ KerP_W=W^\perp}\) ?

[fon_nojman]

Teraz widzę, \(\displaystyle{ (3,2,1)\in W}\) czyli taki rozkład jak napisałem trochę nie ma sensu zatem chodzi o ten z kombinacją liniową

\(\displaystyle{ a(1,1,1)+b(1,0,-1)=(3,2,1).}\)

Jeszcze przy okazji jak sprawdzić, że \(\displaystyle{ RgP_{W}=W}\) (gdzie \(\displaystyle{ Rg}\) to obraz) i \(\displaystyle{ KerP_W=W^\perp}\) ?

To mamy pokazać dla podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\) z naszego zadania czy ogólnie? Jaką miałaś podaną definicję projekcji?

[aiwatko]

Definicja (Rzut ortogonalny na podprzestrzeń) Niech \(\displaystyle{ W\subset \mathbb{R}^n}\) będzie podprzestrzenią liniową i \(\displaystyle{ \{u_1, . . . , u_k\}}\) jej bazą ortonormalną. Dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}^n}\) wektor

\(\displaystyle{ P_W(x)=\sum_{j=1}^{k}(x\cdot u_j)u_j\in W}\)
nazywamy ortogonalnym rzutem wektora \(\displaystyle{ x}\) na przestrzeń \(\displaystyle{ W}\), a odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ P_W:x \to P_W(x)}\) ortogonalnym rzutowaniem (projekcją) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\).
Dla dowolnej podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ W\subset \mathbb{R}^n}\) można skonstruować bazę ortonormalną, a zatem zawsze można tak jak powyżej skonstruować rozkład wektora na sumę dwóch ortogonalnych do siebie składników.
Ze względu na znaczenie ortogonalnych projekcji zbierzemy w jednej wypowiedzi ich najważniejsze
własności.

Stwierdzenie. Niech \(\displaystyle{ W\subset \mathbb{R}^n}\) będzie właściwą podprzestrzenią liniową i \(\displaystyle{ \{u_1, . . . , u_k\}}\) jej bazą ortonormalną. Ortogonalne rzutowanie\(\displaystyle{ P_W:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^n}\) określone wzorem \(\displaystyle{ P_W(x)=\sum_{j=1}^{k}(x\cdot u_j)u_j\in W}\) jest takim odwzorowaniem liniowym, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}^n}\) składniki sumy

\(\displaystyle{ x=P_W(x)+(x-P_W(x))}\)

są do siebie ortogonalne i w konsekwencji

\(\displaystyle{ |x|^{2}=|P_W(x)|^{2}+|x-P_W(x)|^{2}}\).


Ponadto:
\(\displaystyle{ RgP_{W}=W}\)
\(\displaystyle{ KerP_W=W^\perp}\)
\(\displaystyle{ P_W^2=P_W}\), to jest \(\displaystyle{ P_W(P_w(x))=P_W(x)}\)
\(\displaystyle{ P_W(x)\cdot y=x\cdot P_W(y)}\), \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}^n}\)

A zadanie mam analogiczne:
W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) dane są wektory \(\displaystyle{ v=\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)}\) i \(\displaystyle{ u=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)}\). Wyznaczyć macierz ortogonalnej projekcji na przestrzeń \(\displaystyle{ W = lin\{v, u\}}\) i sprawdzić zależności wymienione w Stwierdzeniu

[fon_nojman]

Z czym jest konkretnie problem?

\(\displaystyle{ Rg}\) to pewnie obraz. Zobacz na definicję projekcji, \(\displaystyle{ P_W (x)}\) to kombinacja linowa elementów z \(\displaystyle{ W}\) czyli też musi należeć do \(\displaystyle{ W}\) bo \(\displaystyle{ W}\) jest przestrzenią liniową.

[aiwatko]

Czy obrazem\(\displaystyle{ P_W=W}\) bo wektory są liniowo niezależne?