zadania z egzaminu algebra

[Chris]

zad1)Przedstawic w postaci kanonicznej liczbe zespolona
\(\displaystyle{ z=\frac{(1+i\sqrt{3})^6}{(1+i\sqrt{3})^3} + (1+i)(3-i)}\)

zad3)Znalezc warunek konieczny i wystarczajacy na to aby uklad x y z mial dokladnie jedno rozwiazanie a takze wyznaczyc to rozwiazanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} ay+bx=c\\cx+az=b\\bz+cy=a\end{cases}}\)



zad5)rozwiaz uklad rownan
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+4y+2z=0\\\x-y+4z=0\\5x+2y+10z=0\end{cases}}\)

wyznaczyc widmo macierzy oraz znalezc wszystkie wektory wlasne odpowiadajace niezerowej i rzeczywistej wartosci wlasnej.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\-1&0&0&1\end{bmatrix}}\)

[fon_nojman]

W czym jest kłopot?

Zad 1)

Skracasz potęgi i liczysz.

[Chris]

ok to mniej wiecej wiem jak zrobic tylko wynik zawsze nieciekawy wychodzil ;/

nie wiem jak sie zabrac do zad 5)

a zad3) i jaki jest warunek konieczny i wystarczajacy ..

[Qń]

W zadaniu trzecim jeśli wyznacznik macierzy rozszerzonej będzie niezerowy, to macierz rozszerzona będzie rzędu trzy, a macierz nierozszerzona co najwyżej rzędu dwa, więc z tw. Kroneckera-Capellego układ będzie sprzeczny. Znajdź więc warunek na to, że rzeczony wyznacznik się nie wyzeruje, a potem sprawdź jeszcze kiedy rozwiązanie jest dokładnie jedno (również pomocny będzie wyznacznik, ale tym razem macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\)).

Q.

[fon_nojman]

Zad 5)

Zacznij od policzenia wyznacznika macierzy głównej.

Zad 3)

Rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej i równają się one liczbie niewiadomych układu.

Zad 1)

Wychodzi \(\displaystyle{ 48 \sqrt3+(-76+2 i).}\)

[Iron_Slax]

Zadanie 1 jest dobrze zrobione? Mi wyszła ładna liczba: \(\displaystyle{ -4+2i}\)

[fon_nojman]

Źle policzyłem zad 1). Iron_Slax masz dobrze

[Iron_Slax]

Źle policzyłem zad 1). Iron_Slax masz dobrze

AU

face_1284295156_by_thoskawka_thumb.png (16.63 KiB) Przejrzano 121 razy

Jest nadzieja

\(\displaystyle{ (1+\sqrt{3})^6=2^6(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})^6=64(\cos2\pi+i\sin2\pi)\\(1+\sqrt{3})^3=2^3(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})^3=8(\cos\pi+i\sin\pi)\\\frac{(1+\sqrt{3})^6}{(1+\sqrt{3})^3}=\frac{64}{8}(\cos(2\pi-\pi)+i\sin(2\pi-\pi)=8(\cos\pi+i\sin\pi)=-8}\)

\(\displaystyle{ (1+i)(3-i)=3-i+3-i^2=4+2i\\\frac{(1+\sqrt{3})^6}{(1+\sqrt{3})^3}+(1+i)(3-i)=-8+4+2i=-4+2i}\)

Zadanie 1) zrobione. Teraz czas na kolejne.

Zadanie 5) Wyznacznik = 36 (nie będę tego pisał w latexie bo to strata czasu).
Jakim sposobem można rozwiązać to zadanie?

[fon_nojman]

Zad 5)

Układ jest jednorodny i macierz główna nieosobliwa czyli jedyne rozwiązanie to rozwiązanie zerowe.

[Chris]

Co to jest widmo macierzy?

[fon_nojman]

Zbiór wartości własnych.

[Chris]

tzn.?

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ \det(A-\lambda I)=0}\)

kojarzysz?