Matematyka.pl

Witam,

mam prośbę o pomoc w zadaniu:

Podać przykład trzech dwuwymiarowych podprzestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) takich, że przekrój każdych dwóch z nich jest podprzestrzenią zerową.

Sądziłam, żeby próbować tworzyć wektory liniowo niezależne w poszczególnych podprzestrzeniach, np. w

\(\displaystyle{ \\
\\
1. (1, 0, 0 ,0), (0, 1, 0, 0) \\
2. (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) \\}\)

Mam już dwie podprzestrzenie dwuwymiarowe, takie, że ich przekrój jest podprzestrzenią zerową, niestety jakiej bym nie dobierała trzeciej to nie wychodzi .
Macie może jakiś pomysł?

I jeszcze np. podprzestrzeń rozpięta na wektorach: \(\displaystyle{ (1,0,1,0),(0,1,0,1)}\).

Takich podprzestrzeni o parami trywialnych przekrojach może być zresztą nieskończenie wiele.

A jak sprawdzić żądane właściwości? Tzn, że przekrój każdych dwóch jest przestrzenią zerową?
Chciałam z definicji przekroju podprzestrzeni ale nie mam czegoś takiego w skrypcie a na wiki też nie ma

Każde dwie z tych dwuwymiarowych podprzestrzeni rozpina całą przestrzeń. Żeby to sprawdzić z każdych dwóch par wektorów budujemy macierz i sprawdzamy, czy ma niezerowy wyznacznik. Np. dla pierwszej twojej i mojej ta macierz wygląda tak (w wierszach dla wygody, w kolumnach też OK):

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\)

Wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 1}\) (macierz dolnotrójkątna, więc wystarczy wymnożyć na przekątnej) zatem te cztery wektory są niezależne, czyli rozpinają przestrzeń czterowymiarową, więc te podprzestrzenie nie mogą mieć przecięcia dodatniego wymiaru, bo:

\(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1+V_2)}\)

czyli

\(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)=2+2-4=0}\).

Dzięki bardzo!

Sama bym nie wpadła na to a faktycznie bardzo prosto się sprawdza .