1) Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową wymiaru \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem \(\displaystyle{ Z_{p}}\), to liczba elementów \(\displaystyle{ V}\) jest równa \(\displaystyle{ p^{n}}\).
Będę wdzięczny za wszelką pomoc, poprawka już na horyzoncie.
edit.
2) Podać geometryczny opis podprzestrzeni wymiaru 0, 1, 2 przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\).
To może być coś prostego, ale nie rozumiem polecenia.
Dowód - przestrzeń liniowa, liczba elementów ; geometr. opis
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Dowód - przestrzeń liniowa, liczba elementów ; geometr. opis
1.
No więc, nich \(\displaystyle{ v_{1},...,v_{n}}\) stanowi bazę \(\displaystyle{ V}\). Wówczas każdy z wektorów \(\displaystyle{ w\in V}\) możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ w=\alpha_{1}v_{1}+...+\alpha_{n}v_{n}}\)
Ale \(\displaystyle{ \forall_{i} \ \alpha_{i}\in \mathbb{Z}_{p}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \left| \mathbb{Z}_{p} \right|=p}\), co za tym idzie - każdą liczbę \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) można wybrać na \(\displaystyle{ p}\) sposobów, stąd ilość kombinacji liniowych bazy jest równa \(\displaystyle{ p^{n}}\). Ponieważ baza generuje całą przestrzeń, to w takim razie będą to wszystkie wektory, ale ponieważ baza jest układem liniowo niezależnym, to te wektory nie będą się powtarzać. Zatem \(\displaystyle{ \left| V\right| = p^{n}}\).
2. Chodzi o punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\), proste przechodzące przez ten punkt i płaszczyzny przechodzące przez ten punkt.
No więc, nich \(\displaystyle{ v_{1},...,v_{n}}\) stanowi bazę \(\displaystyle{ V}\). Wówczas każdy z wektorów \(\displaystyle{ w\in V}\) możemy zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ w=\alpha_{1}v_{1}+...+\alpha_{n}v_{n}}\)
Ale \(\displaystyle{ \forall_{i} \ \alpha_{i}\in \mathbb{Z}_{p}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \left| \mathbb{Z}_{p} \right|=p}\), co za tym idzie - każdą liczbę \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) można wybrać na \(\displaystyle{ p}\) sposobów, stąd ilość kombinacji liniowych bazy jest równa \(\displaystyle{ p^{n}}\). Ponieważ baza generuje całą przestrzeń, to w takim razie będą to wszystkie wektory, ale ponieważ baza jest układem liniowo niezależnym, to te wektory nie będą się powtarzać. Zatem \(\displaystyle{ \left| V\right| = p^{n}}\).
2. Chodzi o punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\), proste przechodzące przez ten punkt i płaszczyzny przechodzące przez ten punkt.