wartości własne

[anetaaneta1]

W przestrzeni \(\displaystyle{ V^{2}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ (Z_3,+_3,*_3)}\) dane są macierze
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1& 2& \\ 2&1& \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix}1& 1& \\ 2&1& \end{bmatrix}}\)

Znaleźć ich wartości własne

[bartek118]

Jak szukamy wartości własnych? Napisz wielomiany charakterystyczne tych macierzy

[anetaaneta1]

wyliczamy wyznacznik \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1-\lambda& 2 \\ 2&1-\lambda& \end{vmatrix}}\)
i przyrównujemy do zera ale nie wiem jak potem wyliczyć to \(\displaystyle{ \lambda}\)

[bartek118]

no to wylicz ten wyznacznik i zapisz odpowiednie równanie

[anetaaneta1]

\(\displaystyle{ (1-\lambda)(1-\lambda)-4=0}\)
\(\displaystyle{ 1-\lambda-\lambda+\lambda^{2}-4}\)
\(\displaystyle{ \lambda^{2}-2\lambda-3=0}\)
i jak wylicze pierwiastki to mi nie wychodzi bo w odpowiedzach jest wynik 0 i 2

[bartek118]

Ale chwila, bo mamy równanie:

\(\displaystyle{ \lambda^{2}-2\lambda-3=0}\)

Ale w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}}\) mamy \(\displaystyle{ 0=3}\), czyli

\(\displaystyle{ \lambda^{2}-2\lambda=0}\)

I stąd właśnie \(\displaystyle{ \lambda=0 \vee \lambda=2}\)

[anetaaneta1]

ale czemu \(\displaystyle{ 0=3}\)???

[bartek118]

Pamiętaj, że jesteśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}}\)

[anetaaneta1]

no wiem że w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}}\) ale nie wiem skąd się wzięło ze \(\displaystyle{ 0=3}\)???

[ares41]

\(\displaystyle{ 3\equiv 0 \pmod{3}}\)

[bartek118]

Przede wszystkim \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3} = \left\{ 0,1,2\right\}}\). Więc tutaj nawet nie ma 3. Są to reszty modulo 3. Więc parząc na liczbę przez modulo 3, widać, że jest to 0

[anetaaneta1]

\(\displaystyle{ (1-\lambda)(1-\lambda)-4=0}\)
\(\displaystyle{ 1-\lambda-\lambda+\lambda^{2}-4}\)
\(\displaystyle{ \lambda^{2}-2\lambda-3=0}\)
i jak wylicze pierwiastki to mi nie wychodzi bo w odpowiedzach jest wynik 0 i 2

a to tutaj mowinnam mnożyć modulo 3 ???

[bartek118]

Tak, mnożenie i dodawanie jest modulo 3

[anetaaneta1]

czyli ja powinnam to pomnożyć przez modulo ??? mógłbyś mi pokazać rozwiązanie tego równania ???

[bartek118]

\(\displaystyle{ (1-\lambda)(1-\lambda)-4=0 \\
(1-\lambda)(1-\lambda)-1=0 \\
(1-\lambda)^{2}-1=0 \\
(1-\lambda-1)(1-\lambda+1)=0 \\
\lambda(2-\lambda)=0 \\
\lambda=0 \vee \lambda=2}\)