Witam, chciałam spytać o schemat rozwiązania takiego zadania:
Zbadać, w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\) jaki typ krzywej drugiego stopnia przedstawia równanie i podać układ współrzędnych, w którym ma postać kanoniczną.
\(\displaystyle{ 2x^2+2y^2+4xy+x-y=a}\)
Nie mam pojęcia w ogóle nawet jak zacząć
Rozpoznaj krzywą
-
szw1710
Rozpoznaj krzywą
Miałaś na studiach taki temat: kanonizacja form kwadratowych? To właśnie trzeba zrobić.
Rozpoznaj krzywą
czyli sprowadzić do postaci kanonicznej, miałam metodę Lagrange'a ale co zrobić z elementem\(\displaystyle{ x-y}\)? przecież nagle kwadratów nie wyczaruję
-
szw1710
Rozpoznaj krzywą
Bierzesz pod uwagę na razie wszystko co zawiera \(\displaystyle{ x}\), więc pierwszy kwadrat będzie \(\displaystyle{ 2\left(x+y+\frac{1}{4}\right)^2}\), potem redukujesz i od nowa podobnie.
Rozpoznaj krzywą
to będzie \(\displaystyle{ 2\left(x+y+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}-\frac{3}{2}y=a}\) i jak tu dorobić kwadrat ?
-
szw1710
Rozpoznaj krzywą
Więc nie dorobisz. Mniejsza o szczegóły, ale wyrażenie po lewej jest tego typu. Więc w układzie współrzędnych \(\displaystyle{ s=x+y+\frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{8}-\frac{3}{2}y}\) mamy linię \(\displaystyle{ 2s^2-t=a}\) czyli \(\displaystyle{ t=2s^2-a,}\) co jest parabolą.