macierze dowód

[anetaaneta1]

Wykazać że każda macierz stopnia 2 postaci
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix}}\)
spełnia równanie \(\displaystyle{ X^{2}-(a+d)X+(ad-bc)E=0}\)

Z góry dzięki za pomoc:)

[lukasz1804]

Wystarczy podstawić do lewej strony równania w miejsce \(\displaystyle{ X}\) daną macierz (pamiętając, że \(\displaystyle{ X^2}\) oznacza mnożenie macierzy \(\displaystyle{ X}\) przez samą siebie) i wykonać elementarne działania na macierzach (dodawanie i mnożenie przez skalar).

[Lorek]

Swoją drogą ciekawe czy istnieje jakieś sprytniejsze rozwiązanie, albo uogólnienie, bo w końcu współczynniki tu występujące to ślad i wyznacznik tej macierzy.

[Piotr Pstragowski]

Swoją drogą ciekawe czy istnieje jakieś sprytniejsze rozwiązanie, albo uogólnienie, bo w końcu współczynniki tu występujące to ślad i wyznacznik tej macierzy.

Istotnie. Załóżmy przez chwilę, że macierz jest diagonalizowalna. Wtedy wielomian charakterystyczny jest postaci \(\displaystyle{ (x-a_1)(x-a_2)}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) są eigenwartościami, czyli dokładnie \(\displaystyle{ x^2-x \cdot Tr(X)+det(X)}\). Cayley-Hamilton mówi nam, że macierz spełnia swój wielomian charakterystyczny.

Ale skoro równanie jest wielomianowe, a my pokazaliśmy je dla macierzy diagonalizowalnych, to pokazaliśmy je dla wszystkich. (Bo macierze diagonalizowalne tworzą podzbiór gęsty i otwarty.)

[beacik]

Wystarczy podstawić do lewej strony równania w miejsce \(\displaystyle{ X}\) daną macierz (pamiętając, że \(\displaystyle{ X^2}\) oznacza mnożenie macierzy \(\displaystyle{ X}\) przez samą siebie) i wykonać elementarne działania na macierzach (dodawanie i mnożenie przez skalar).

Trafiłam na to zadanie w skrypcie i próbowałam je sama rozwiązać - nie wyszło.
Przyszłam tutaj i rozwiązanie nadal jest dla mnie niezrozumiałe... Próbowałam liczyć to wyżej zaczytowanym sposobem, ale wychodzą mi jakieś zupełne brednie.
Czy mógłby mi ktoś to wytłumaczyć łopatologicznie??? Nie potrafię tego ogarnąć, a tego drugiego sposobu to kompletnie nie rozumiem, bo tego jeszcze nie mieliśmy na wykladach ani tym bardziej na ćwiczeniach...
BŁAGAM O POMOC.