Uzasadnić wzór na pole trójkąta ABC

diego_maradona · Post autor: **diego_maradona** » 26 sie 2011, o 01:49

\(\displaystyle{ P=0.5 \cdot \left|\begin{array}{ccc}x _{1} &y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right| \\
\\
A= \left( x_{1},y _{1} \right) \\
B= \left( x_{2},y_{2} \right) \\
C= \left( x_{3} , y_{3} \right)}\)

Zrozumiałem, że potraktowano pole tego trójkąta jako objętość figury dwuwymiarowej, ale w takim razie w trzeciej kolumnie macierzy powinny być zera , a są jedynki. W takim razie jak rozwiązać to zadanie?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 26 sie 2011, o 09:21

Gdyby potraktowano to jako objętość takiej bryły, to faktycznie byłyby tam zera, bo objętość czegoś takiego to 0. Ja proponuję rozpisać ten wyznacznik i przyrównać do znanych już wzorów na pole

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 26 sie 2011, o 09:28

Ja bym jeszcze przed rozpisaniem zamienił to na
\(\displaystyle{ 0{,}5\cdot \left|\begin{array}{ccc}x _{1} &y_{1}&1\\x_{2}-x_1&y_{2}-y_1&0\\x_{3}-x_1&y_{3}-y_1&0\end{array}\right|}\).

diego_maradona · Post autor: **diego_maradona** » 27 sie 2011, o 14:05

Rozpisałem ten wyznacznik i wyszło

\(\displaystyle{ x_{1}y_{2} + y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-y_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}}\)

Dalej mi to nic nie podpowiada-- 27 sie 2011, o 14:11 --chociaż zaraz... ... ablice.pdf jakby się dobrze przyjrzeć to wychodzi ten wzorek na 6 stronie... który można uzasadnić bez użycia wektorów ( normalnie obliczyć długość podstawy AB, oraz wysokość jako odległość punktu C od prostej AB.)
Dobrze kombinuję?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 27 sie 2011, o 20:23

Tak, można w taki sposób